Teorema del coseno y teorema del seno por coseno
Partiendo del applet de arriba, vemos que:
La proyección de OM sobre el eje Y' es: y' = cosθ Ecuación (5)
La proyección de OM sobre el eje Z' es: z' = senθ Ecuación (6)
La proyección de OM en el eje Y es: y = cos(θ + ζ) Ecuación (7a)
La proyección de OM sobre el eje Z es: z = sen(θ + ζ) Ecuación (7b)
Aplicando las identidades trigonométricas del seno de la suma de dos ángulos y del coseno de la suma de dos ángulos obtenemos:
y = cos(θ + ζ) = cosθ cosζ - senθ senζ
Sustituyendo y' = cosθ, z' = senθ en la ecuación anterior, obtenemos:
y = y' cosζ - z' senζ Ecuación (9a)
De forma similar, obtenemos:
z = sen (θ + ζ) = senθ cosζ + cosθ senζ
Sustituyendo z' = senθ, y' = cosθ obtenemos:
z = z' cosζ + y' senζ Ecuación (9b)
Si reemplazamos las ecuaciones , y en la ecuación (9b), obtenemos:
Si sustituimos allí las relaciones de los lados y ángulos del triángulo esférico, obtenemos:
.
Aplicando la identidad , obtenemos la ecuación (11):
Nuevamente, al reemplazar las ecuaciones 
, 
y 
en la Ecuación (9a) obtenemos:
Sustituyendo allí las relaciones de los ángulos y lados de los triángulos esféricos, obtenemos:
,
que es igual a (12):
Las relaciones para los otros lados, se obtienen permutando A, B y C, a, b y c. Así obtenemos el teorema del coseno de la trigonometría esférica, o primera fórmula de Bessel (14):
El último grupo de ecuaciones se llaman teorema del seno por el coseno de la trigonometría esférica, o tercera fórmula de Bessel (15):
Los grupos de ecuaciones (10), (14) y (15) son las expresiones básicas de la trigonometría esférica.
, y en la Ecuación (9a) obtenemos:
Sustituyendo allí las relaciones de los ángulos y lados de los triángulos esféricos, obtenemos:
,
que es igual a (12):
Las relaciones para los otros lados, se obtienen permutando A, B y C, a, b y c. Así obtenemos el teorema del coseno de la trigonometría esférica, o primera fórmula de Bessel (14):
El último grupo de ecuaciones se llaman teorema del seno por el coseno de la trigonometría esférica, o tercera fórmula de Bessel (15):
Los grupos de ecuaciones (10), (14) y (15) son las expresiones básicas de la trigonometría esférica.