Gleichungen
Wie kann man diese Gleichung lösen?
Wie geht man bei dieser Gleichung geschickt vor?
Was kann man hier anstelle der pq- bzw. abc-Formel machen?
Wie lautet die Lösung?
Produktform und Satz vom Nullprodukt
Ist eine Gleichung in folgender Form gegeben:
mit einem Polynom ohne Nullstellen, so sind die reellen Zahlen Lösungen der Gleichung.
Begründung:
Ist zum Beispiel , so wird der erste Faktor auf der linken Seite Null und damit das gesamte Produkt auf der linken Seite.
Beispiel:
Die ersten drei Faktoren werden Null, wenn x die Werte 2, -3 und 7 annimmt; der vierte Faktor wird für kein reelles x Null. Folglich sind die Lösungen .
Geben Sie die Lösungen an:
Potenzgleichungen
Ist eine Gleichung in folgender Form gegeben:
mit den reellen Zahlen a und b und der natürlichen Zahl n, dann löst man zuerst nach xn auf und zieht dann gegebenenfalls die n-te Wurzel.
Ist n ungerade, so lautet die Lösung .
Ist n gerade, so gibt es nur für eine Lösung, nämlich
Beispiele:
1)
2)
Diese Gleichung hat keine Lösung.
3)
Bestimmen Sie die Lösung:
Wie könnte man diese Gleichung lösen?
Polynomgleichungen ohne niedrige Potenzen von x
Gleichungen der Form
kann man lösen, indem man ausklammert:
Man bekommt eine n-2-fache Lösung und eventuell noch eine oder zwei Lösungen durch das Nullsetzen der Klammer.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösung:
Biquadratische Gleichungen
Gleichungen der Form
nennt man biquadratisch.
Durch eine Ersetzung ("Substitution") kann man biquadratische Gleichungen elegant lösen. Dazu führt man eine neue Variable ein:
Mit dieser neuen Variablen wird aus der biquadratischen Gleichungen eine normale quadratische:
Die Lösung(en) dieser quadratischen Gleichung kann man z.B. mittels Lösungsformel finden.
Als letzten Schritt muss man die Substitution nur noch "rückgängig" machen ("Resubstitution") und nach x auflösen.
Beispiel:
Substitution:
(Hinweis: Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung für s kann man natürlich auch mit der pq-Formel ermitteln.)
Resubstitution:
Folglich gibt es vier Lösungen der biquadratischen Gleichung (was durch eine Probe mittels Einsetzen ganz leicht überprüft werden kann).
Bestimmen Sie die Lösung der beiden Gleichungen:
a) b)