Optimointi: Leivänpaahtimia markkinoille
Firma tuottaa markkinoille leivänpaahtimia, ja tahtoo optimoida voittonsa. Tämäntyyppisissä probleemissa päädytään käyttämään erinäisten funktioiden derivaattoja; taloustieteilijät kutsuvat näitä derivaattoja marginaaleiksi (marginals). Tuotteen kysyntä (kuinka monta kappaletta tuotteita menee kaupaksi per kuukausi) riippuu tietenkin sen hinnasta. Merkitään kysyntää symbolilla . Tietystikin jos myydään halvemmalla, on kysyntää silloin enemmän. Merkitään symbolilla yksittäisen tuotteen myyntihinta ja oletetaan että :n ja :n välillä on yhteys
Tästä hinnan ja kysynnän yhteydestä on kuva alla. Vaaka-akselilla on siis yhden tuotteen hinta () euroissa, ja pystyakselilla se määrä leivänpaahtimia kuukaudessa, jonka kuluttajat ostavat tällä hinnalla.
Voimme piirtää tästä tuotteen hinnan ja markkinoiden kysynnän suhteesta kuvaajan myös "toisesta suunnasta": Tällä kertaa vaaka-akselina on kysyntä, ja pystyakselina on tuotteen hinta (kuva alla).
Oletetaan että tuotantokustannukset, eli se, minkä verran firmalle maksaa tuottaa leivänpaahtimia juuri kysynnän verran, määräytyvät seuraavan funktion mukaan:
Tämän funktion yksikkö on siis euroa kuussa; tämä on firman rahallinen investointi, jolla leivänpaahtimet tuotetaan.
TEHTÄVÄ:
(a)
Laske rajakustannusfunktio . Tämä on siis funktio, joka kertoo minkä verran tuotantokustannukset muuttuvat, jos tuotteita aiotaan tuottaa lisää. Jos tuotanto on x=100 tuotetta per kuukausi, niin mikä on rajakustannuksen arvo? (Toisinsanoen, mikä on arvio sille, mitä firmalle maksaisi nostaa tuotanto 101:een tuotteeseen per kuukausi?)
(b)
Business-matematiikassa sana tuotto tarkoittaa sitä rahamäärää, jonka firmaa saa tuotteidensa myynnistä. Tämä voidaan laskea, kun tunnetaan yhden tuotteen hinta, ja myytyjen tuotteiden kappalemäärä. Se on siis . Rajatuotto määritellään tuoton derivaattana (tuotetun kappalemäärän x suhteen). Mikä on rajatuotto, kun tuotteita myydään 100 kappaletta per kuukausi, eli mitä on ? (Toisinsanoen, mikä on se tuoton lisäys joka arvioitaisiin saatavan kun tuotantoa lisättäisiin sadasta 101:een?)
(c)
Lopulta voittohan se on joka kiinnostaa. Firman saama voitto tuotteidensa myymisestä on se rahallinen erotus mitä maksoi tuottaa ne, ja mitä kuluttajat niistä maksoivat, eli
Vastaavasti rajavoitto on tämän derivaatta. Jos firma tuottaa 100 tuotetta per aikayksikkö, niin mikä on rajavoiton arvo, eli mitä on ? (Toisin sanoen, minkä on arvio sille minkä verran firma saa voittoa tuottaessaan 101:nnen tuotteen?)
RATKAISU:
(a)
(b)
Tunnemme lausekkeen kysynnälle hinnan funktiona: laskemme nyt tälle käänteisfunktion, eli hinta kysynnän funktiona. Tarvitsemme sitä hetken päässä laskuissa. Huomaa, että tästä lausekkeesta nähtiin ylempänä jo kuvaajakin (se, jossa on vaaka-akselilla kysyntä, ja pystyakselilla hinta).
Kirjoitetaan funtio tuotolle, ja lasketaan rajatuotto.
Lasktaan vielä rajatuoton arvo, kun tuotanto on 100 paahdinta kuukaudessa:
(c)