Háromszög - tetraéder
Nevezetes pontok, vonalak
Vizsgáljuk meg rendre, hogy a háromszög közismert nevezetes vonalaira, pontjaira vonatkozó összefüggések közül melyeknek lesznek a tetraéderre vonatkozó térbeli megfelelői, és melyeknek nem!
- Három pont általános helyzetű, ha nincs közös egyenesük. Bármely három általános helyzetű pont meghatároz egy háromszöget. Négy pont általános helyzetű, ha nincs közös síkjuk. Bármely négy általános helyzetű pont meghatároz egy tetraédert.
- Bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontra illeszkednek, Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja. Bármely tetraéder oldalfelező merőleges síkjai egy pontra illeszkednek. Ez a pont a tetraéder köré írt gömb középpontja. ⇒
- Egy háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Bármely háromszög súlyvonalai egy pontban - a háromszög súlypontjában - metszik egymást. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalakat. A súlypont koordinátái a csúcsok koordinátáinak a számtani közepe. Egy tetraéder súlyvonala a csúcsot a szemközti lap súlypontjával összekötő szakasz. Igaz-e, hogy bármely tetraéder súlyvonalai egy pontban - a tetraéder súlypontjában - metszik egymást. Ha igen, a súlypont milyen arányban osztja a súlyvonalakat. Igaz-e, hogy a súlypont koordinátái a csúcsok koordinátáinak a számtani közepe? ⇒
- Négy olyan pont van a háromszög síkjában, amelyek a háromszög oldalegyeneseitől egyenlő távolságra vannak. E négy pont közül egy a háromszög beírt körének, a további három a hozzáirt köreinek a a középpontja. Legfeljebb hány olyan pont van a térben, amely e a tetraéder négy lapsíkjától egyenlő távolságra van? Adjuk meg azokat a gömböket, amelyek a tetraéder mind a négy lapsíkját érintik! ⇒
- A háromszög magasságegyenese a háromszög csúcsára illeszkedő, a szemközti él oldalegyenesére merőleges egyenes. Bármely háromszög magasságegyenesei egy pontra, a háromszög magasságpontjára illeszkednek. A tetraéder magasságegyenese a a tetraéder csúcsára illeszkedő, és a szemközti lap síkjára merőleges egyenes. Igaz-e, hogy bármely a tetraéder magasságegyenesére illeszkedik a szemközti lap háromszögének a magasságpontja? Igaz-e, hogy bármely tetraéder magasságegyenesei egy pontra illeszkednek.? Ha nem, akkor melyek azok a tetraéderek, amelyeknek van magasságpontjuk? ⇒
- Egy háromszög szabályos, ha oldalai egyenlők. A szabályos háromszög köré írt körének, beírt körének a a középpontja, a súlypontja és magasságpontja egybeesik. Egy tetraéder szabályos, ha oldalai egyenlők. A szabályos tetraéder háromszög köré gömbjének, beírt gömbjének a középpontja, a súlypontja és magasságpontja egybeesik. A szabályos tetraéder középgömbje az a gömb, amely mind a hat élét érinti. A középgömb középpontja a beírt és köréirt gömbök közös pontja. Igaz-e, hogy bármely tetraédernek van középgömbje? Ha nem, akkor melyek azok a tetraéderek, amelyeknek van középgömbjük? ⇒