Propuesta de Arquímedes para la aproximación del área
Arquímedes proponer cubrir la superficie con triángulos. Así, primero tendremos que obtener el mayor triángulo con base AC.
En el siguiente applet, clickando en el botón "búsqueda del primer triángulo" se puede observar cómo llevar a cabo esta acción. Una vez hayas visto la representación de ese primer triángulo de base AC (queda dentro del segmento parabólico), responde las siguientes cuestiones:
- ¿Qué altura tiene?¿Es posible encontrar un triángulo de base AC (que quede dentro del segmento parabólico) con mayor altura?
- ¿Cómo será su área? ¿Es posible encontrar un triángulo de base AC (que quede dentro del segmento parabólico) cuya área sea mayor?
Una vez representado el triángulo se puede conocer su área clickando en la casilla que aparece "área del primer triángulo".
A continuación se deben cubrir los espacios "vacíos" que quedan a ambos lados del triángulo rosa. Así, con las herramientas que se presentan en el siguiente applet hay que representar en la parte derecha el mayor triángulo posible de base DC y a la izquierda el mayor triángulo posible de base AD (quedando ambos dentro del segmento parabólico).
Una vez completada la construcción responde la siguiente pregunta:
- ¿Podrías estimar cuál es el área del segmento parabólico?, es decir, ¿podrías dar una aproximación del área?
El siguiente applet, modelo dinámico destinado al momento de ilustración, permite verificar el trabajo que se ha realizado previamente. Clicka en el botón "Comenzar a cubrir el segmento parabólico" y comprueba que en el anterior applet has aproximado correctamente el área del segmento parabólico.
En la ESO la búsqueda de los triángulos de mayor altura sería mediante ensayo-error, tal y como se muestra en los applets, pero en Bachillerato podríamos ir un paso más adelante. Estableciendo una relación entre aspectos geométricos y algebraicos, se podría determinar la función "distancia entre un punto y una recta" (tomando un punto genérico de la parábola y la base de cada triángulo) y maximizar la función para obtener las coordenadas del punto de la parábola cuya distancia respecto al segmento que es la base del triángulo es máxima.