Caso PPR
INTRODUÇÃO
Neste caso, são fornecidos dois pontos distintos A e B e uma reta r, e devemos encontrar o círculo que passa pelos dois pontos e é tangente a reta.
SUBCASOS
1. Os pontos A e B pertencem a reta r: Não há solução;
2. Apenas um dos pontos A ou B pertencer a reta r: A solução é única;
3. Os pontos A e B estão em uma reta AB que é paralela à reta r: A solução é única;
4. Os pontos A e B estão em semiplanos opostos determinados pela reta r: Não há solução;
5. Os pontos A e B estão em um mesmo semiplano determinado por r e a reta AB é concorrente a reta r: Há duas soluções.
PPR1
Na construção feita para ilustrar o caso PPR2, posicione o ponto B sobre a reta r e observe o que ocorre.
Você deve ter notado que não é possível obter o círculo desejado, pois este deveria passar pelos pontos A e B, mas como ambos pertencem a r, teríamos então uma reta tangente com dois pontos de interseção com o círculo, o que entra em contradição com a própria definição de tangente.
PPR2
PASSO A PASSO
(1-4) São dados dois pontos A e B e uma reta r;
(5) É construída a mediatriz m dos pontos A e B;
(6) É construída a reta p, perpendicular a r passando por A;
(7) É determinado o ponto O de interseção entre m e p;
(8) É traçado o círculo c de centro O passando por B (que também passará por A).
JUSTIFICATIVA
A circunferência c de centro O e raio OA é a solução do subcaso PPR2, pois o ponto O equidista dos pontos A e B, já que pertence a mediatriz m destes pontos, e, por construção, o raio OA é perpendicular a reta r e tem A como ponto de tangência (já que A e O pertencem a p).
PPR3
PASSO A PASSO
(1-7) São dados uma reta r e dois pontos A e B de modo que a reta AB é paralela a r;
(8) É traçada a mediatriz m dos pontos A e B;
(9) É determinado o ponto C de interseção entre m e r;
(10) É traçado o círculo c que passa pelos pontos A, B e C.
JUSTIFICATIVA
Vamos provar que a circunferência c é solução do subcaso PPR4. De fato, seu centro O deve pertencer a m, já que precisa estar a mesma distância dos pontos A e B. Seja T o ponto de tangência da circunferência c com a reta r. Então a reta TO deve ser perpendicular r. Como a reta AB é paralela a reta r, temos que m é perpendicular a r, já que é mediatriz de AB. Como tanto a reta TO quanto m são perpendiculares a r e passam por O, então temos que TO = m, pela unicidade da perpendicular. Como T pertence a m e a r, então T=C, que é o ponto de interseção destas retas na construção apresentada aqui. Note que agora c pode ser construído utilizando o caso PPP.
PPR4
Posicione os pontos A e B em semiplanos distintos na construção feita para ilustrar o caso PPR5 e observe o que ocorre.
Você deve ter notado que a construção de tal círculo não é possível, visto que ao percorremos qualquer círculo passando por A e por B no sentido anti-horário, ele deverá intersectar a reta r duas vezes, uma indo de A para B e outro vindo de B para A, uma vez que estes pontos ocupam semiplanos opostos, dentre os determinados pela reta r.
PPR5
PASSO A PASSO
(1-5) São dados os pontos A e B e a reta r;
(6) É construída a reta AB;
(7) É determinado o ponto médio de AB, denominado M1;
(8) É traçado o círculo d1 de centro M1 que passa pelos pontos A e B;
(9) É determinado o ponto C de interseção entre as retas AB e r;
(10) É determinado o ponto médio de M1C, denominado M2;
(11) É traçado o círculo d2 de centro M2 que passa pelos pontos M1 e C;
(12) São determinados os pontos P1 e P2 de interseção entre d1 e d2;
(13) É traçado o círculo d3 de centro C que passa pelos pontos P1 e P2;
(14) São determinados os pontos C1 e C2 de interseção entre d3 e r;
(15-16) São obtidas as circunferências c1 e c2 passando ambas pelos pontos A e B e respectivamente pelos pontos C1 e C2.
JUSTIFICATIVA
Para fixar as ideias, vamos nos concentrar na circunferência c1. Observando-a vemos que a reta AB é secante a ela e, se esta é realmente uma solução do problema de Apolônio, a reta r deve ser tangente a mesma. Precisamos então determinar o ponto de tangência C1 entre c1 e r. Para determinar tal ponto lembremos que, pelas propriedades de potência de pontos, aplicada ao ponto C e a circunferência c1, temos que . Queremos então obter os pontos C1 e C2 sobre r cujas distâncias até C sejam a média geométrica entre os comprimentos dos segmentos AC e BC.
Vamos provar que a construção feita antes garante que a reta CP1 é tangente ao círculo d1. Para tanto, note que o triângulo CP1M1 é reto em P1, já que está inscrito na semicircunferência de diâmetro CM1 (evidenciada por d2). Assim, a reta CP1 é perpendicular ao raio P1M1 do círculo d1 e, consequentemente, tangente a ele no ponto P1.
Logo, como a reta AB é secante a d1, temos, pela mesma propriedade de potência de pontos aplicada novamente ao ponto C, mas agora, a circunferência d1, que . Portanto o ponto P1 está distante de C exatamente pela distância que procuramos. Logo, como o ponto C pertence a reta r, traçando o círculo k de centro C e raio CP1 os pontos de interseção deste com a reta r nos fornecerão os pontos de tangência C1 e C2 procurados. Assim, os círculos c1 e c2 que passam pelos pontos A e B e, respectivamente, pelos pontos C1 e C2 são os círculos que fornecem a solução do problema de Apolônio neste caso.