PAQ Algorithmus Helper (Matrix SmithNF/RRef)
Hinweise
Eingabe IE
Beachte IE gibt die Reihenfolge der Zeilen- und Spalten-Operationen vor - Leserichtung Links→Rechts
Aufteilung in Elementarmatrizen IP Zeilen- und IQ Spalten-Matrizen - die Anwendung der entsprechenden Matrizenfolge ergibt sich aus Darstellung (8) → Reverse(IP) und IQ !
P: {z , s , a} ==> Elementarmatrix (ez,s) = id(ei,i=1) mit ez,s=a, z (Zeilennummer), s (Spaltennummer)
Q: {-s , z , a} ==> Elementarmatrix (es,z) = id(ei,i=1) mit es,z=a, z (Zeilennummer), s (Spaltennummer)
IE-Leer-Schablone
IE:={{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1},{1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1}}
CGT/ggT:nn[ k ] : ggT von PAQ Spalte k = nn
Smith-Normal-Form
Berechnung des ggT der Spalten und mit Zeilen-Operationen ggT erzeugen führt zu
aber
Click comment text: p=p+1
Beispiel
A:{{18,12,24,42},{7,9,7,3},{10,12,7,10},{4,-6,9,10}}
IE :={{2,4,-1},{1,2,-6},{3,2,-3},{2,3,-3},{4,3,-4}, {-2,1,33},{-3,1,-13},{-4,1,-31} ,{2,1,1},{4,1,2},{2,4,1},{4,2,5 },{1,2,13 },{-3,2,-4},{-4,2,-6},{-2,4,-3},{1,2,-289},{4,2,-122},{1,4,-2},{4,1,-3},{1,4,50},{-2,3,78},{1,3,0},{-2,4,0},{3,4,0},{2,3,0},{-2,3,0}} ;
(6) Abfolge der Elementarmatrizen, Stellung Slider p (rot)
(8) Zuordnung Abfolge in Pzeilen A Qspalten Operationen:
! reverseIP links rechts IQ links rechts !
(10) Ergebnis P A Q wie in Abfolge eingestellt
| Zeilenoperationen-Matrix P Product() {n,m,a} Zeile n += Zeile m * (a) {n,n,a} Zeile n = Zeile n * (a) {n,m,0} tausch Zeile n >< Zeile m {n,m,a} ==> en,m = a | | Spaltenoperationen-Matrix Q Product() {-n,m,a} Spalte n += Spalte m * (a) {-n,n,a} Spalte n = Spalte n * (a) {-n,m,0} tausch Spalte n >< Spalte m {-n,m,a} ==> em,n = a |
| GDC/ggT(1)[ 1 ] | GDC/ggT(3)[ 2 ] | GDC/ggT(21)[ 3 ] | | |
| IE :={{1,4,-1},{2,1,-5},{4,1,7},{-2,1,144},{-3,1,-45},{-4,1,-16}, | {4,3,-3},{3,4,21},{4,3,4},{2,3,16},{-3,2,-36},{-4,2,218}, | ,{2,4,-4},{4,2,21},{-4,3,6},{2,3,0},{-2,2,-1} | |
| GDC/ggT(1)[ 1 ] | GDC/ggT(6)[ 4 ] | GDC/ggT(3)[ 2 ] | | |
| IE :={{1,4,-1},{2,1,-5},{4,1,7},{-2,1,144},{-3,1,-45},{-4,1,-16}, | {3,2,4},{4,2,17},{4,3,1},{-2,3,3},{-3,2,5} | ,{-4,2,2} | |
LGS ReducedRowEchelonForm → Kern , ILösung A x = b
Erweiterte Matrix Ab
A:= {{1, 3, 2, 5, 4}, {1, 1, 3, 2, 5}, {3, 3, 9, 14, -5}, {2, 2, 6, 6, 5}};
IE :={{4, 2, -2}, {3, 2, -3}, {2, 1, -1}, {3, 4, -4}, {3, 4, 0}, {3, 3, 1/2},{2, 3, 3}, {1,3, -5}, {2, 2, -1/2}, {1, 2, -3}, {-3, 4, 0}};
(6) Abfolge Elementarmatrizen
(8) Zuordnung Abfolge in P A Q Operationen
Auslesen RRefPAQ
Ts:=Take(Transpose(Take(Element(IQ, 1),1,4)),1,4) ; Rücktausch:=Spaltentausch auf Zeile übertragen
Kern:=Transpose( Take(Transpose(PAQ),4,4)) +Ts {{0},{0},{0},{-1}} ; Spalte 4 freie Variable auf n erweitern, Rücktausch
IL:=Ts Transpose( Take(Transpose(PAQ),5,5)) ; ,spezielle Lösung aus Spalte 5 auslesen, Rücktausch