Exponentialfunktionen
Was ist eine Exponentialfunktion?
Immer wenn die Variable einer Funktion als Exponent in einer Gleichung steht, dann spricht man von einer Exponentialfunktion.
Exponentialfunktionen haben die Form:
Dabei ist der Startwert, also die Zahl, bei der der Funktionsgraph die -Achse schneidet. Es gilt also .
Das ist die Basis der Exponentialfunktion.
Prozentuales Wachstum oder prozentualer Zerfall
Exponentialfunktionen beschreiben immer ein prozentuales Wachstum oder einen prozentualen Zerfall.
Im vorhergehenden Kapitel wurde in er ersten Aufgabe eine Funktion für einen Geldbetrag von in Abhängigkeit von der Zeit aufgestellt, der jedes Jahr um steigt: .
Die zweite Aufgabe beschreibt die Veränderung des Kontrastes eines Gegenstandes zu seinem Hintergrund, bei zunehmenden Abstand vom Betrachter: Der Kontrast (mit dem Startwert ) nahm um pro Kilometer ab, d.h. nach einem Kilometer beträgt er nur noch vom Startwert:
In der ersten Aufgabe handelt es sich um exponentielles Wachstum, im zweiten Beispiel ist es exponentieller Zerfall.
Das Besondere an exponentiellem Wachstum ist, dass nicht nur die betrachtete Größe wächst, sondern auch die Geschwindigkeit, mit der diese Größe wächst, nimmt zu.
Die e-Funktion
Es gibt eine besondere Exponentialfunktion, die Mathematiker:innen lieben, weil sie viele händische Rechnungen deutlich vereinfacht:
mit der Euler'schen Zahl
Die Eulersche Zahl hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Es ist eine irrationale Zahl, die sich nicht als Bruch darstellen lässt. Auf dem Taschenrechner erhält man diese Zahl, indem man eingibt. Bei manchen Taschenrechnern reicht sogar einfach die Eingabe des Buchstaben "e".
Warum ist eine Exponentialfunktion mit einer so komplizierten Basis "besonders schön"?
Weil die e-Funktion (neben der Funktion ) die einzige Funktion auf dieser Welt ist, die gleich ihrer eigenen Ableitungsfunktion ist.
Es gilt:
Und selbst das Integrieren ist mit e-Funktionen leicht, weil die e-Funktion ihre eigene Stammfunktion ist: