Differentialgleichung elliptischer Funktionen
 | Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.02.2023) |
Was läßt sich im Applet erkunden? (Kurzfassung)
Die Differentialgleichung besitzt für 4 verschiedene Brennpunkte
als Lösung eine elliptische Funktion . Im Applet sind die Brennpunkte in Normalform
angegeben, dies ist mit einer Möbiustransformation stets möglich.
Für geeignetes sind Lösungskurven Winkelhalbierende zweier elliptischen Kreisbüschel, deren Brennpunkt-Paare
aus den gegebenen Brennpunkten gebildet werden. Dies ist auf 3 verschiedene Weisen möglich.
Im "allgemeinen Fall" (die absolute Invariante ist nicht reell), ergeben sich verschiedenen Richtungen der Lösungskurven
durch einen vorgegebenen Punkt p.
p wie f sind beweglich, allerdings müssen für die neue Lage die Daten neu berechnet werden!
Ist jedoch die absolute Invariante reell und nicht negativ - die Brennpunkte sind konzyklisch und liegen in Normalfalllage auf
einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis -, so sind die Richtungen identisch, Lösungskurven sind 2-teilige bizirkulare
Quartiken. Wegen des hohen Rechenaufwandes werden diese Quartiken nur für die Brennpunkte auf der -Achse oder auf
dem Einheitskreis angezeigt.
Die winkelhalbierenden Richtungen sind für die 3 möglichen Fälle im konzyklischen Fall zwar identisch, die
winkelhalbierenden doppelt-berührenden Kreise sind jedoch verschieden: zu den 3 Möglichkeiten der Brennpunkt-Paar-
Bildung gehören 3 verschiedene Symmetrieen. Der 4. doppelt-berührende Kreis geht durch p und ist orthogonal zum Kreis
durch die Brennpunkte.
Die Mittelpunkte der 4 doppelt-berührenden Kreise durch den Punkt p, die zu einer Lösungsrichtung gehören, liegen auf
der Normalen zu dieser Richtung, ihr Doppelverhältnis ist reell; wirklich bemerkenswert ist die Tatsache, dass das
Doppelverhältnis bei geeigneter Reihenfolge mit den reellen Doppelverhältnis der 4 Brennpunkte übereinstimmt!
Zusammengefaßt:
- Liegen die 4 Brennpunkte einer elliptischen Funktion auf einem Kreis, so ist in jedem Punkt (von den Brennpunkten abgesehen) die absolute Invariante der 4 in diesem Punkt doppelt-berührenden Kreise einer Lösungsrichtung stets identisch mit der absoluten Invariante der elliptischen Funktion.
Die Differentialgleichung einer komplex-analytischen (oder meromorphen) Funktion
).
Für unterschiedliche Aufteilung der Brennpunkte in Brennpunktspaare ergeben sich im allgemeinen Falle unterschiedliche Richtungen.
Sind die Brennpunkte jedoch konzyklisch, dh. sie liegen (in Normalfall-Lage der Brennpunkte) auf einer der Achsen
oder auf dem Einheitskreis, so sind die Richtungen identisch. Die Lösungskurven durch einen Punkt p sind bizirkulare
Quartiken. Die winkelhalbierenden Kreise sind dann doppelt-berührende Kreise der Lösungskurven, also der Quartik,
- ,
- Das durch die Differentialgleichung gegebene Vektorfeld ist bei geeigneten Winkelhalbierenden-Feld zweier Kreisbüschel-Vektorfelder, deren verschiedenen Brennpunkte aus je 2 der oben angegebenen Brennpunkte bestehen.
- Ist mit , so sind die Brennpunkte konzyklisch: sie liegen in Normalform auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis. Die Brennpunkte und damit die elliptische Funktion sind dann symmetrisch zu 4 paarweise orthogonalen Kreisen, einer davon ist imaginär. Für geeignetes sind die Lösungskurven konfokale 2-teilige bizirkulare Quartiken.
- Ist mit , so liegen 2 der Brennpunktpaare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Lösungskurven sind konfokale 1-teilige bizirkulare Quartiken siehe die nächste Aktivität.
).
Für unterschiedliche Aufteilung der Brennpunkte in Brennpunktspaare ergeben sich im allgemeinen Falle unterschiedliche Richtungen.
Sind die Brennpunkte jedoch konzyklisch, dh. sie liegen (in Normalfall-Lage der Brennpunkte) auf einer der Achsen
oder auf dem Einheitskreis, so sind die Richtungen identisch. Die Lösungskurven durch einen Punkt p sind bizirkulare
Quartiken. Die winkelhalbierenden Kreise sind dann doppelt-berührende Kreise der Lösungskurven, also der Quartik,