Problema optimització (cercle i rectangle)
ENUNCIAT DEL PROBLEMA
Donada una circumferència de 10 cm de radi, determineu quines dimensions ha de tenir un rectangle d’àrea màxima tal que la seva base sigui tangent a la circumferència i el costat oposat a al base sigui una corda de la circumferència.
PLANTEJAMENT
Per tal de facilitar l'ús de variables, dibuixem la circumferència centrada en el punt sobre l'eix d'ordenades, de tal manera que l'eix d'abscisses (eix X) és la recta tangent a la circumferència que utilitzarem per plantejar el problema.
Definim un punt D mòbil sobre l'eix d'abscisses que es desplaçarà des de l'origen de coordenades fins al punt que correspon a la projecció ortogonal de la circumferència sobre l'eix X que està més allunyada del punt . Les coordenades de D són on és un nombre entre 0 i 10. També definim l'oposat al punt D sobre l'eix X, el punt . Amb els punts D i G tenim la base del rectangle que volem construir.
A continuació, cal observar que els dos punts que falten per definir el rectangle han d'estar situats sobre la circumferència i a la mateixa alçada respecte l'eix vertical (eix Y). Si aquests dos punts, que anomenarem E i F, es troben "per sota" del centre de la circumferència, és bastant evident que el rectangle DEFG tindrà una àrea inferior a la que tindria rectangle definit pels punts E i F situats sobre la mateixa vertical però a l'altre costat de la circumferència. Per tant, suposarem que els punts E i F es mouen sobre la mitja circumferència situada en el semiplà . La primera coordenada del punt E serà (igual que D) i la primera de F serà (igual que G). Per trobar la seva segona coordenada, hem d'aïllar y en l'equació de la circumferència:
és a dir, .Per tant, la segona coordenada dels punts E i F és :
L'àrea del rectangle DEFG és:
Aquesta funció és la que hem d'optimitzar per trobar l'àrea màxima.