De algemene sinusfunctie
A:De grafiek van y=a sinx
Plot de grafiek van de functies , , . Doe dit door in onderstaande geogebra applet de schuifbalk voor a te verschuiven.
Hoeveel bedraagt de periode van deze functies?
Wat is de maximale uitwijking t.o.v. de x-as bij deze drie functies?
y=a sinx
De grafieken van , en schommelen symmetrisch om de x-as (y=0), die we daarom de evenwichtslijn noemen.
vb. : De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een verticale uitrekking met factor 3. Hierdoor wordt ook de maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtslijn met 3 vermenigvuldigd.
Deze maximale uitwijking noemen we de amplitude.
De amplitude van bedraagt 1, de amplitude van bedraagt 3.
ALGEMEEN:
De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een verticale uitrekking met factor a met a>0.
Wat als a<0?
In de onderstaande applet zie je de functie in het grijs met a=1.
Plot de grafiek van en .
Wat merk je?
We zien dat als a<0 er een spiegeling is om de x-as
B. De grafiek van y=sin bx
In onderstaande applet zie je de grafiek van in het groen. Plot de grafiek van de functies met voorschrift , en .
Doe dit door de schuifknop b te verplaatsen
Wat is de periode van deze drie functies?
Wat is de amplitude?
De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een horizontale uitrekking met factor 2. Hierdoor wordt ook de periode met 2 vermenigvuldigd. De periode van is , de periode van is .
ALGEMEEN:
De grafiek van met b>0, ontstaat uit de grafiek van door een horizontale uitrekking met factor . De periode wordt gedeeld door b, dus
C De grafiek van y=sin(x-c)
Plot de grafiek van , , .
Hoe ontstaat de grafieken van g en h uit die van f?
Verandert je amplitude?
Verandert je periode?
vb: De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een horizontale verschuiving over een afstand 1 naar links.
ALGEMEEN:
De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een horizontale verschuiving over een afstand |c|.
* Als c>0, wordt de grafiek naar rechts verschoven. (Let op want dan staat er een min-teken in je voorschrift)
* Als c<0, wordt de grafiek naar links verschoven. (Let op want dan staat er een plus-teken in je voorschrift)
Een startpunt van is het punt (0,0).
Door de horizontale verschuiving zal dit punt verschuiven naar (c,0). Dit getal c noemen we de faseverschuiving.
D. De grafiek van y=sinx + d
Plot de functies met voorschrift , en .
Hoe ontstaan de grafieken van g en h uit die van f?
Wat is de evenwichtslijn van deze grafieken?
Wat is de periode?
De amplitude?
vb: De grafiek van ontstaat uit de grafiek van door een verticale verschuiving met 4 eenheden naar boven.
Door de verticale verschuiving wordt ook de evenwichtslijn en het startpunt verschoven.
De evenwichtslijn van is de rechte met vergelijking y=0 en startpunt (0,0)
De evenwichtslijn van is de rechte met vergelijking y=4 en startpunt (0,4).
ALGEMEEN:
De grafiek van y=sinx +d ontstaat uit de grafiek van y= sin x door een verticale verschuiving met |d| eenheden.
* Als d>0, wordt de grafiek verticaal naar boven verschoven.
* Als d<0, wordt de grafiek verticaal naar beneden verschoven.
De evenwichtslijn is de rechte met vergelijking y=d.
Een startpunt is het punt (0,d).
E.: Slot alles samen: y= a sin(b(x-c)) =d
Definitie:
De functie met voorschrift y= a sin (b (x-c))+d, met a>0 en b>0, noemen we de algemene sinusfunctie
Samengevat:
* amplitude: a, maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtslijn
* periode: p=
* evenwichtslijn y=d
* mogelijk startpunt (c,d).