Die h-Methode
Aufgabe 1
Mach dich mit der GeoGebra-Grafik vertraut und beantworte folgende Fragen:
a) Welche Linie stellt den Funktionsgraphen dar?
b) Welche Linie stellt die Sekante dar?
c) Durch welche Punkte verläuft die Sekante?
d) Wozu dienen die Schieberegler?
e) Welche Werte werden durch die gestrichelten roten Linien markiert?
Aufgabe 2
Bestimme die Steigung der Sekante () anhand des Steigungsdreiecks. Gehe dazu folgendermaßen vor:
a) Notiere die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden mithilfe eines Steigungsdreiecks.
b) Berechne die Steigung von zwei beliebigen Sekanten. Lies dazu die nötigen Zahlenwerte in der
Grafik ab.
Aufgabe 3
Stelle nun eine Formel für die Berechnung eine beliebigen Sekante zur Funktion auf. Gehe dazu folgendermaßen vor:
a) Die in Aufgabe 2 b) abgelesenen Werte werden in der Grafik nicht als und bezeichnet. Notiere, wie sie statt dessen bezeichnet werden.
b) Ersetze in der Formel für die Steigung und durch die neuen Bezeichnungen aus
Aufgabe a).
c) Vereinfache den Nenner so weit, wie möglich.
d) Setze nun und in den Term aus c) ein.
e) Multipliziere die Klammer im Zähler aus. Vereinfache den Zähler so weit, wie möglich.
Aufgabe 4
In Aufgabe 3 hast du erfolgreich den Differenzenquotient aufgestellt. Mit dem Differenzenquotient wird die Steigung der Sekante berechnet. Sie hängt von der Stelle und dem Wert von ab. Nun soll die Steigung der Tangente an der Stelle berechnet werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:
a) Beschreibe kurz in Worten, wie in der Grafik aus der Sekante eine Tangente wird. Welcher
Schieberegler muss verwendet werden und welchen Wert muss er annehmen?
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotient. Um diesen Grenzwert zu bilden muss zunächst sichergestellt werden, dass nicht durch Null geteilt wird:
b) Notiere den Term aus Aufgabe 3 e) und kürze im Zähler und Nenner.
c) Setze nun ein und Streiche alle Terme, die dadurch den Wert 0 annehmen.
d) Übrig bleibt . Berechne m für einige Werte von und vergleiche mit der Grafik.
Zusammenfassung
Mit der h-Methode kann die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion berechnet werden. Startpunkt der Herleitung ist die Berechnung der Steigung einer Geraden mithilfe eines Steigungsdreiecks:
In diese Formel werden neue Bezeichungen eingesetzt, , und .
So entsteht der Differenzenquotient:
Um die Steigung der Tangente zu berechnen, muss der Grenzwert gebildet werden. Es muss jedoch darauf geachtet werden, nicht durch Null zu teilen. Daher wird der Zähler zunächst eingesetzt, ausmultipliziert und vereinfacht. Dadurch kann das h im Nenner gekürzt werden (hier am Beispiel der Normalparabel):
Nun kann der Grenzwert gebildet werden indem eingesetzt wird:
Da die Stelle beliebig ist, funktioniert dieses Vorgehen überall (außer bei besonderen Funktionen!).
Der Differentialquotient wird auch als Ableitung bezeichnet und ist der Grenzwert