exacte en benaderende Fibonacci-formule
de gulden snede en de rij van Fibonacci
Vaak wordt de gulden snede geassocieerd met de rij van Fibonacci. Ook hier is weer een spraakverwarring tussen 'de gulden snede' als een meetkundige constructie en het getal .
Dan nog, vanwaar komt dit verband met ?
Wel, net zoals opduikt in vijf- en tienhoeken om een simpele goniometrische eigenschap is ook hier een logisch verband tussen beide. Dat verband is de formule waarmee je elk willekeurig n-de getal uit de rij kunt berekenen. Daarin staat niet alleen , je kunt de formule zelfs herschrijven met en er in.
een formule voor de rij van Fibonacci
De rij van Fibonacci is geen rekenkundige of meetkundige rij.
Toch bestaat er een formule om rechtstreeks de n-de term van de rij te berekenen: .
Splits je deze breuk, dan krijg je
- (1.618) is groter dan 1. Toenemende machten van worden steeds groter.
- (0.618) is kleiner dan 1. Toenemende machten van worden steeds kleiner.
Opmerkingen:
- voor wiskundigen: Meer wiskundige achtergrond en afleiding van eigenschappen uit de exacte formule vind je in de tekst Golden Maths & Myths.
- voor niet-wiskundigen: Kijk enkel naar de benaderende formule. Daarin staat het volgende: Er is een heel eenvoudig verband tussen de n-de term uit de rij van Fibonacci en . Wat dat betekent voor het zogenaamde 'mysterieuze opduiken van de gulden snede' in de rij van Fibonacci lees je in volgende pagina's.