Definición de derivada en un punto a partir del límite de la T.V.M (tasa de variación instantánea)
Tasa de Variación (TV)
Dada una función f(x), llamábamos tasa de variación al número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor "a" a otro "b".
La tasa de variación de f(x) entre a y b (siendo a < b):
TV[a,b]= f(b)-f(a)
Tasa de Variación Media (TVM)
La tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que experimenta dicha función en el intervalo. Es decir, la tasa de variación media de una función f(x) entre a y b (siendo a), la definimos como:
Si en lugar de "b", al segundo punto lo llamamos "a+h", la fórmula anterior quedaría así:
Tasa de Variación Instantánea (TVI)
Si hacemos h muy pequeño, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa a. Y hacer h muy pequeño, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantánea. Es decir, la tasa de variación instantánea en un punto, es el límite cuando h tienede a cero de la tasa de variación media en el intervalo [a, a+h]:
Derivada en un punto x_0
Y esto precisamente nos lleva al concepto de derivada en un punto; la variación instantánea en un punto. Así, la derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x0, se define como el límite: