Das gewichtete arithmetische Mittel bei quadratischen Funktionen
Die einfache Formel "A mal rot mal blau gleich gelb", mit deren Hilfe der Satz von Holditch bewiesen wurde, wird hier verallgemeinert. Dies führt zu einer Verallgemeinerung des Satzes von Holditch, bei der die Annahme fallen gelassen werden kann.
Anleitung
- Verändere die Parameter mit den Schiebereglern. Welche Bedeutung haben sie für die dargestellte Figur? Welchen Einfluss hat auf die Länge der gelben Linie?
- Setze das Häkchen bei "Mittelwerte" und leite die dargestellte Formel für her. Kennst du eine ähnliche Formel aus der Stochastik?
- Setze das Häkchen bei "Hebelgesetz" und leite die dargestellten Formeln her. Welche Aussage ergibt sich aus dem Vergleich der verschiedenen Darstellungen von ?
- Verschiebe die Parabel durch "Anfassen" am Scheitelpunkt. Wie hängt das obige Ergebnis von ihrer Lage im Koordinatensystem ab?
- Setze das Häkchen bei "Tangente". Formuliere eine rein geometrische Aussage über (geometrisch definierte) Parabeln, die hier sichtbar wird.
Mathematischer Hintergrund
Sei , eine quadratische Funktion, seien beliebig mit und sei .
(Im Applet sind und eindeutig bestimmt durch , , und die Lage des Scheitelpunkts, nämlich und , woraus umgekehrt und folgt.)
Baryzentrische Koordinaten:
Die reelle Zahl kann als gewichtetes arithmetisches Mittel von und aufgefasst werden: mit . Die Gewichtungsfaktoren und werden auch baryzentrische Koordinaten von bezüglich und genannt. Dabei sind auch negative Werte für oder zulässig, so dass jede reelle Zahl eine (bei festen und eindeutige) Darstellung dieser Art hat. Setzt man und , so gilt das Hebelgesetz . Für ist das (ggf. negative) Teilverhältnis, in dem das Intervall teilt.
Bekanntlich gilt für eine lineare Funktion aufgrund der Strahlensätze die Verhältnistreue oder Mittelwerttreue: oder kurz . Für eine quadratische Funktion ist ein Korrekturterm erforderlich wie im folgenden Satz beschrieben.
Satz:
Mit den obigen Bezeichnungen gilt
(1) ,
(2) .
Daraus folgt mit den Bezeichnungen aus dem Applet: oder "A mal rot mal blau gleich gelb".
Damit gewinnt diese im ersten Kapitel entwickelte Faustformel eine neue, allgemeinere Bedeutung für das gewichtete arithmetische Mittel bei quadratischen Funktionen, aus der im nächsten Applet eine verallgemeinerte Version des Satzes von Holditch hergeleitet wird.
Der Beweis des obigen Satzes ergibt sich leicht aus den Formeln im Applet und ist im Anhang ausgeführt. Man kann (1) auf den Spezialfall reduzieren. Dabei handelt sich um die aus der Statistik bekannte Regel "mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert (Varianz) = Mittelwert der Quadrate minus Quadrat des Mittelwerts", die natürlich auch für Mittelwert und Varianz von mehr als zwei Größen gilt und analog bewiesen wird.
Geometrischer Satz über Parabeln:
Zu einer gegebenen Parabel sei eine beliebige Sekante ( und die Schnittpunkte mit ) und die Tangente im Punkt . Ferner sei mit ein Punkt auf der Sekante (der die Strecke im Verhältnis teilt) und eine parallel zur Symmetrieachse von verlaufende Gerade durch . Sei der Schnittpunkt von mit und der Schnittpunkt von mit . Dann gilt:
(d.h. die Teilverhältnisse und sind gleich, oder mit der Farbgebung im Applet: grün:gelb = rot:blau).