Berührorte und 6-Eck-Netze
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (13. Juli. 2022) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netz
Die im Inneren einer 1-teiligen bizirkularen Quartik doppelt-berührenden Kreise und die durch die beiden im Inneren liegenden Brennpunkte gehenden Kreise bilden nur dann ein 6-Eck-Netz, wenn der im Inneren liegende Scheitelkreis durch die dort liegenden Brennpunkte geht. In diesem Falle besteht der Berührort, also der Ort, in welchem sich Kreise aus der angegegebenen Kreisschar berühren, aus der Quartik und 2 orthogonalen Kreisen - im Beispiel sind das die Achse und der Scheitelkreis. Sind der achsensymmetrische Kreis durch die im Inneren liegenden Brennpunkte und der Scheitelkreis verschieden, liegt kein 6-Eck-Netz vor. Der Berührort enthält dann eine Kurve durch die Scheitel s und s' und die Brennpunkte f'' und f'''. Diese Kurve ist keine Ellipse, sondern vermutlich ebenfalls eine 1-teilige bizirkulare Quartik. "Konstruiert" wurde diese Kurve geogebraisch als Ortskurve, die sich allerdings nur zeigt, wenn der Abstand von s zu s_f hinreichend groß ist! Obige Beobachtung stützt unsere Vermutung, dass der Berührort eines 6-Eck-Netzes aus Kreisen neben der Berührquartik für die doppelt-berührenden Kreise notwendiger Weise nur aus (wahrscheinlich orthogonalen) Kreisen bestehen kann. Beispiele sind verdeutlicht in obigem Applet und in dem von Fedor Nilov angegebenen 6-Eck-Netz N (e). Es gibt auch unter den 2-teiligen bizirkularen Quartiken Spezialfälle, in welchen ein Brennpunktskreis mit einem Scheitelkreis zusammenfällt. Wir vermuten, dass auch in diesen Spezialfällen 6-Eck-Netze existieren. Es gelingt uns jedoch nicht, die im Inneren einer solchen Quartik liegenden doppelt-berührenden Kreise durch einen vorgegebenen Punkt zu konstruieren.