円の極と極線の性質
極と極線の関係
極線は極と円との接点と接点を結んだ線のことで、ジオジェブラの４番目のアイコンの中に「極線」コマンドがあって、極と二次曲線を選ぶと極線が簡単に求まります。
極が円の外にある場合は、二つの接線の接点を結んだ直線が極線になります。
では、極が円の中にあったらどうなるのでしょうか？
円の極と極線の定義
極と極線の関係
中にある場合は、Ｐを通る適当な対角線を引いて、円周との交点で接線を作ってその交点を結べば極線ができます。
極線の定義は上図のように比例で表わすのが簡単です。
極と中心を結んだ線と極線が垂直に交わります。
直角三角形の比例からすぐにわかります。
極と極線は一対一に対応しています。
そして、いろいろな相似三角形や内接四角形の比から長さの関係が出てきます。
さらに極と極線の関係を調べてみましょう。
下の図は極に対する極線を描いてありますが、もう一つの極と曲線を出して、極線上に極をもってきて極と極線の関係を確かめてみましょう。
極線の性質
極と極線の関係は、点と線の関係であり、極線上の点の極線は極を通る直線になります。
つまり、極線上にある点は極を通る直線と対応し、
一直線に並ぶ点の極線は一点を通る直線になり、
一点を通る直線の極点は一直線上に並びます。
このことは、双対的な定理の原理となります。
例えば、パスカルの定理からこのことを使って、ブリアンションの定理を証明できます。