Układy równań
Dowiesz się dzisiaj, co to jest układ równań (dwóch równań liniowych), jaka jest interpretacja geometryczna układu równań, ile rozwiązań może mieć układ równań.
Obejrzyj krótki film.
Interpretacja geometryczna układu równań.
Kiedy wykorzystamy już dane z zadania (jak w przykładach z filmu), otrzymujemy dwa równania, na przykład:
3x + y = 0
x - y = 4
Musimy tak dobrać wartości x i y, aby oba równania były dla tych liczb spełnione.
Ten proces (dobieranie liczb) to rozwiązywanie układu równań. A znalezione liczby x i y to rozwiązanie układu równań.
Każda para (x, y) liczb spełniających oba równania jest rozwiązaniem układu równań.
Ile rozwiązań może mieć układ równań liniowych, czyli takich równań, które zapisujemy w sposób przedstawiony poniżej?
ax + by = c
sx + ty = u
Czy układ równań może nie mieć rozwiązań?
Czy układ równań może mieć więcej niż jedno rozwiązanie?
Interpretacja geometryczna równania.
Jeśli zaznaczylibyśmy na płaszczyźnie z układem współrzędnych wszystkie punkty (x, y), których współrzędne są ze sobą związane równaniem: x - y = 1, to jaką figurę by one utworzyły?
Użyj suwaka, aby zmienić położenie prostej: x - y = a.
Równanie prostej.
Powyższy przykład pokazuje, że jeśli wyrażenie x - y = 1 jest równaniem prostej, to po zmianie wartości liczby stojącej po prawej stronieznaku "=", otrzymujemy także prostą - równoległą do tej pierwszej.
Teraz zapiszmy związek między x a y w formie nieco zmodyfikowanej: y = ax + b.
Wykonaj następujące ćwiczenie:
zmieniaj za pomocą suwaków parametry a i b, obserwuj zmiany!
Układ równań - dwie proste.
Układ równań to dwie proste - zatem para liczb (x, y) spełniająca oba te równania to współrzędne punktu leżącego na obu prostych.
Poniżej przedstawiono tę sytuację:
y=ax+b
y=cx+d
to układ równań - dwie proste na płaszczyźnie.
Zmieniaj parametry a, b, c i d - obserwuj i wyciągaj wnioski.
Sprawdź, czy twoje spostrzeżenia są trafne (test na zakończenie lekcji).
Zadanie 1.
Sprawdź, jakie liczby spełniają układ: 5x+5y = 10 5x - y = 4 W tym zadaniu i pozostałych - dobieraj wartości parametrów a, b c i d za pomocą suwaków (w oknie powyżej).
Zadanie 2.
Proste y= -3x + 1 y= -3x - 2 są:
Zadanie 3.
y = ax+5 y= cx - 5 Te dwie proste są wzajemnie prostopadłe, gdy:
Zadanie 4.
Układ równań y= 5x + 3 y = 5x - 2 ma:
Zadanie 5.
Układ równań y=x +b y=x - 3 posiada nieskończenie wiele rozwiązań (obie proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych), dla b =
