Der Einheitskreis
Aufgabe:
Lies dir folgende Informationen durch. Sie sind eine Wiederholung aus der 5. Klasse. Mache dir Notizen mit geeigneten Skizzen in dein Lerntagebuch.
Der Einheitskreis
Um Sinus, Cosinus und Tangens auch für Winkel definieren zu können, die größer sind als 90° sind, verwendet man den Einheitskreis.
Was ist der Einheitskreis?
Darunter versteht man einen Kreis mit dem Radius von 1. Manchmal zeichnet man sich noch ein Koordinatensystem ein. Der Ursprung dieses Koordinatensystems fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Ein Einheitskreis sieht so aus:
Lässt man nun einen Punkt auf dem Einheitskreis entlanglaufen, so entstehen rechtwinkelige Dreiecke. Wobei der rechte Winkel immer an der x-Achse liegt und die Hypotenuse immer aus dem Radius des Einheitskreises gebildet wird. Ihre Länge ist also immer 1.
Den Winkel, den der Radius mit der x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) einschließt, nennen wir . Die blaue Strecke ist also die Gegenkathete von und die rote Strecke ist die Ankathete von . Die Hypotenuse ist ja der Radius selbst, also die schwarze Strecke.
Nun gilt:
von P
von P
Auf diese Weise lassen sich Werte für und definieren, auch wenn größer ist als 90°. Diese können nun auch negative annehmen.
Außerdem erhält man den Tangens, wie auch schon im rechtwinkeligen Dreieck, indem man den Sinus durch den Cosinus dividiert.