Sección 1.5 - Teorema de Steiner-Lehmus
Antes de ver el Teorema de Steiner-Lehmus, miremos los siguientes lemas y sus demostraciones.
Lema 1
Si dos cuerdas de un círculo inscriben ángulos agudos distintos en puntos en el círculo, el ángulo menor pertenece a la cuerda más corta.
Demostración:
Dos cuerdas inscriben ángulos iguales en el centro y ángulos iguales en puntos adecuados en la circunferencia. De las dos cuerdas distintas, la más corta, estando más lejana del centro, inscribe un ángulo menor y por tanto un ángulo agudo menor en la circunferencia.
Lema 2
Si un triángulo tiene dos ángulos distintos, el ángulo menor tiene el bisector interno más largo.
Demostración: Sea el triángulo con B
Queremos demostrar que BM>CN.
Tomemos M' en BM tal que . Como esto es igual a , los cuatro puntos N, B, C, M' caen dentro de un círculo.
Como
Y por el Lema 1,
Teorema de Steiner-Lehmus
Cualquier triángulo que tenga dos bisectores de ángulos iguales (cada uno medido desde el vértice hasta el lado opuesto) es isósceles.
Demostración:
Este teorema puede ser expresado por contrapositiva. Será suficiente probar que si en , , entonces .
Esto es una consecuencia inmediata del Lema 2, probando el teorema.