Gelingensnachweis
Teil 1: Grundwissen (Reproduktionsaufgaben)
1. Begriffe und Definitionen (4 Punkte)
a) Definitionen:
- Radius: Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis.
- Durchmesser: Die längste Sehne eines Kreises, die durch den Mittelpunkt verläuft. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
- Tangente: Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt.
- Sekante: Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet.
- Passante: Eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet und nicht berührt.
- Ein Kreis mit Radius 4 cm wird gezeichnet.
- M wird als Mittelpunkt markiert.
- Eine Sehne (eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Kreis) wird eingezeichnet.
- Eine Tangente wird eingezeichnet – sie berührt den Kreis in genau einem Punkt.
- Eine Sekante wird eingezeichnet – sie schneidet den Kreis in zwei Punkten.
- Ein Kreis mit Durchmesser 6 cm wird gezeichnet.
- Zwei Punkte AAA und BBB auf dem Kreis markieren den Durchmesser.
- Ein beliebiger Punkt CCC auf dem Kreis wird gewählt.
- Die Strecken ACACAC und BCBCBC werden eingezeichnet.
- Der rechte Winkel wird markiert.
Teil 2: Anwendung (Transferaufgaben)
4. Kreisberechnungen (6 Punkte)
- Gegeben:
- d=60d = 60d=60 cm → Radius: r=d2=30r = \frac{d}{2} = 30r=2d=30 cm
- Kreisumfang: U=2πr=2π⋅30=188.4 cmU = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 30 = 188.4 \text{ cm}U=2πr=2π⋅30=188.4 cm
- Flächeninhalt des Kreises: A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 30^2 = 2827.4 \text{ cm}^2A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2
- Strecke nach 10 Umdrehungen: 10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m10 \cdot U = 10 \cdot 188.4 = 1884 \text{ cm} = 18.84 \text{ m}10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m
- Zeichne den Kreis mit Radius 5 cm und Mittelpunkt M.
- Markiere den Punkt P, der 8 cm vom Mittelpunkt M entfernt ist.
- Zeichne die Strecke MP.
- Konstruieren der Mittelsenkrechten von MP (halbiere MP und zeichne eine Senkrechte durch den Mittelpunkt).
- Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit MP ist der Mittelpunkt eines neuen Kreises, der durch M und P verläuft.
- Zeichne diesen Hilfskreis.
- Die Schnittpunkte dieses Kreises mit dem ursprünglichen Kreis sind die Berührungspunkte der Tangenten.
- Ziehe die beiden Tangenten von P zu diesen Berührungspunkten.
Teil 3: Vertiefung (Problemlöse- und Beweisaufgaben)
6. Beweis des Peripheriewinkelsatzes (6 Punkte)
- Formulierung: „Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ist immer halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.“
- Beweisidee:
- Der Zentriwinkel wird in zwei gleich große Teile zerlegt.
- Jeder Teil entspricht einem Peripheriewinkel.
- Daraus folgt: Zentriwinkel = 2 × Peripheriewinkel.
- Berechnung der Flächeninhalte:
- Klein:
- Mittel:
- Groß:
- Preis pro cm²:
- Klein: 5.99/314.16 ≈0.019 €/cm²
- Mittel: 8.99/706.86 ≈0.0127 €/cm²
- Groß: 11.99/1256.64 ≈0.0095 €/cm²