Umkehrfunktionen und Monotonie

Achsen vertauschen

Vertauschen Sie mit dem Schieberegler die x-Achse und die y-Achse.

Funktion oder nichtfunktionaler Zusammenhang?

Kann das neu gewonnene Schaubild zu einer Funktion gehören? Hinweis: Nach dem Vertauschen ist die x-Achse grün und die y-Achse rot.

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A
Ja, da der Graph aus einer Normalparabel zweiter Ordnung hervorgegangen ist, und Normalparabeln sind stets Graphen von funktionalen Zusammenhängen.
B
Ja, aber die obige Begründung ist falsch.
C
Nein, da es jetzt zu jedem x aus der Definitionsmenge zwei y aus der Wertemenge gibt. Das widerspricht der Natur eines funktionalen Zusammenhangs.
D
Nein, aber die obige Begründung ist falsch.

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Achsen vertauschen - Teil 2

Vertauschen Sie mit dem Schieberegler die x-Achse und die y-Achse.

Funktion oder nichtfunktionaler Zusammenhang?

Kann das zweite neu gewonnene Schaubild zu einer Funktion gehören?

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A
Ja, da der Graph aus einer Normalparabel zweiter Ordnung hervorgegangen ist, und Normalparabeln sind stets Graphen von funktionalen Zusammenhängen.
B
Ja, aber die obige Begründung ist falsch.
C
Nein, da es jetzt zu jedem x aus der Definitionsmenge zwei y aus der Wertemenge gibt. Das widerspricht der Natur eines funktionalen Zusammenhangs.
D
Nein, aber die obige Begründung ist falsch.

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Achsen vertauschen - Teil 3

Vertauschen Sie mit dem Schieberegler die x-Achse und die y-Achse. Können Sie ein Kriterium des ursprünglichen (!) Graphs erkennen, das bestimmt, ob der umgekehrte Graph zu einer Funktion gehört?

Kubische Funktion: f(x) = x³

Potenzfunktion: f(x) = 1/x

Potenzfunktion f(x) = 1/x²

Gauß-Funktion: f(x) = exp(-x²)

Lineare Funktion: f(x) = -3x+1

Quadratische Funktion: f(x) = 2x²+3x-1

Polynomfunktion: f(x) = x³-4x

Sinusfunktion: f(x) = sin(4x)

Umkehrbarkeit

Eine Funktion ist umkehrbar, wenn der Graph vor der Durchführung der Umkehrung ...

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A
... nur eine Art der Krümmung aufweist, d.h. entweder überall linksgekrümmt oder überall rechtsgekrümmt ist.
B
... nur eine Art der Steigung aufweist, d.h. entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist.
C
... keine Nullstellen besitzt.
D
... nur in einem Quadranten des Koordinatensystems verläuft.

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Umkehrfunktion

Werden die Achsen vertauscht und somit aus dem Input der Output und aus dem Output der Input, dann nennt man die neue Zuordnung eine so genannte Umkehrzuordnung. Ist diese Umkehrzuordnung einer Funktion selbst wieder eine Funktion (für jedes neue x gibt es jeweils nur ein neues y), dann spricht man von einer Umkehrfunktion und schreibt "f oben minus 1": Beispiel: Dabei bedeutet das "oben minus 1" nicht, dass der Funktionsterm hoch minus 1 genommen wird, also der Kehrwert gebildet wird. Der Index "-1" steht lediglich als Symbol für die Umkehrung. Welche Behauptungen zu Umkehrfunktionen sind richtig?

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A
Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion erhält man, indem man bei der ursprünglichen Funktionsgleichung x und y vertauscht und dann nach y auflöst.
B
Die Wertemenge der Umkehrfunktion ist die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion, und die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge der ursprünglichen Funktion.
C
Die Schaubilder der Funktion und der Umkehrzuordnung sind achsensymetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten des Koordinatensystems.
D
Ist eine Funktion nicht umkehrbar, weil ihr Graph kein strenges Monotonieverhalten zeigt, dann kann man immer noch die Definitionsmenge einschränken und die Funktion auf einem kleineren Intervall umkehren.

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Aufgaben

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Umkehrbarkeit.
Falls die Funktion nicht global umkehrbar ist, ermitteln Sie ein Intervall, auf dem sie dennoch lokal umkehrbar ist.
Geben Sie die (eingeschränkte) Definitionsmenge sowie die dazugehörige Wertemenge an.
Bestimmen Sie jeweils die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, indem Sie x und y vertauschen und anschließend nach y auflösen.
Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

Lösung für f:

Lösung für g:

Lösung für h:

Lösung für j:

Lösung für k:

Arbeitsauftrag

Lesen Sie die Einleitung, die Definition sowie das erste Beispiel des folgenden Wikipedia-Artikels durch.

Umkehrfunktionen und Monotonie

Achsen vertauschen

Funktion oder nichtfunktionaler Zusammenhang?

Achsen vertauschen - Teil 2

Funktion oder nichtfunktionaler Zusammenhang?

Achsen vertauschen - Teil 3

Kubische Funktion: f(x) = x³

Potenzfunktion: f(x) = 1/x

Potenzfunktion f(x) = 1/x²

Gauß-Funktion: f(x) = exp(-x²)

Lineare Funktion: f(x) = -3x+1

Quadratische Funktion: f(x) = 2x²+3x-1

Polynomfunktion: f(x) = x³-4x

Sinusfunktion: f(x) = sin(4x)

Umkehrbarkeit

Umkehrfunktion

Aufgaben

Arbeitsauftrag

Wikipedia-Artikel zu monotonen Funktionen

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