SUMAS DE RIEMANN
Cálculo de áreas usando polígonos
Friedrich Riemann fue un matemático Alemán que vivió en el siglo 19 y que ideó una aproximación para calcular el área bajo una curva en el plano cartesiano, a través de figuras tales como rectángulos o trapecios.
De ahí la necesidad de recordar previamente el cálculo de las áreas de esas figuras.
Riemann pensó que se puede aproximar el área bajo una curva si se trazan rectángulos o trapecios que siguieran el contorno de la curva y sumar tales áreas. La figura siguiente puede darte una idea más clara de su concepción:
Obviamente, el cálculo del área bajo la curva acumula un error de medición debido a que los rectángulos no coinciden a la perfección con el contorno de la curva. Así que Riemann estableció las siguientes dos condiciones para que el cálculo del área sea más certero:
1) Debe establecerse un límite inferior y un límite superior para el eje de las abscisas (eje "x"). Claramente se observa que, si no se establecen ésos límites, el área sería infinita.
2) Se debe maximizar la cantidad de rectángulos para hacer que el error sea insignificante. Esto quiere decir que, entre más rectángulos se calculen, mejor será la aproximación.
3) El área de cada rectángulo está determinado por la longitud de la base multiplicada por la longitud de su altura.
4) El área de cada rectángulo forma parte un área mayor que es de interés, por lo que el área de cada rectángulo es una diferencial del área total.
Para el ejemplo de la gráfica anterior, se tienen los siguientes límites:
Límite inferior
Límite superior:
Todos los rectángulos tienen la misma longitud de la base.
Recordando los conceptos de los incrementos muy pequeños, decimos en éste caso que
La altura de cada rectángulo está determinada por la función f(x) cuando x toma cada uno de los valores que le corresponden.
Para éste caso, en la que se sustituirá cada valor de x para calcular la altura de cada rectángulo.
Para el primer rectángulo:
la base mide
por lo que el área del primer rectángulo es:
Así calculamos el área de cada uno de los rectángulos siguientes. Como dx =0.5 los siguientes valores de x serán en incrementos de 0.5
Como podemos observar, ya llegamos al valor de x que se estableció como límite superior, por lo que ésta área ya no se calcula.
Ahora, para el cálculo estimado del área, sólo hay que sumar todas las diferenciales de área obtenidas:
Se pueden hacer procesos similares utilizando trapecios en lugar de rectángulos, y el error obtenido es menor, pero aún así sigue existiendo.
No nos detendremos a hacer un ejemplo de trapecios, toda vez que es un procedimiento similar. Si comprendiste el concepto de que la suma de las áreas de los rectángulos se aproxima bastante al área bajo la curva establecida entre dos límites, entonces ya tienes el concepto de las sumas de Riemann.
SOLO PARA PRACTICAR
A manera de práctica, calcula el área aproximada bajo la curva desde hasta con incrementos usando áreas rectangulares y traza la gráfica en un plano cartesiano.
NOTA: Si el resultado te sale como un área negativa, simplemente significa que el área está hacia abajo del eje de las abscisas (eje "x).
RESPUESTA: