6. La gran iluminación
Pensó que si no estaban en una circunferencia, tal vez reposarían sobre otra cónica. A fin de cuentas, cada punto de la trayectoria quedaba determinado por la posición de los tres vértices y por el radio de alcance la farola. Y una cónica quedaba determinada por 5 puntos de la curva. Conocía dos de ellos, el incentro y el circuncentro. Necesitaba otros tres.
- Tres puntos más. Tres puntos más... Veamos, el arco comienza en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita que estoy viendo. Esa circunferencia es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Un momento, es la única... ¡en el interior! Si considero los lados como parte de rectas, existen otras tres circunferencias más tangentes a ellas, “por fuera”.
- Veamos, si el incentro es donde se encuentran las bisectrices interiores, los centros de las circunferencias tangentes por el exterior estarán donde se encuentren las bisectrices exteriores, digo yo... ¡Pues sí, efectivamente!
- ¡Ya recuerdo! Esos centros se llamaban, lógicamente, excentros. Bien, ahora la prueba de fuego: ¿la cónica que une a esos 5 centros (incentro, circuncentro, excentros), pasará por todas las marcas?
- ¡Síiiiiii! ¡Este programa es una maravilla! Es una hipérbola. A ver, GeoGebra, dime cosas sobre ella: ¿dónde están sus focos y el centro, cuáles son sus asíntotas, qué ángulo forman, a qué dedica el tiempo libre?
- Las asíntotas de la hipérbola se cortan en ángulo recto, así que se trata de una hipérbola equilátera. Además, el centro de esta hipérbola pertenece a la circunferencia circunscrita. Voy a buscar en Internet a ver si encuentro información sobre ella.
- ¡Así que la base de cualquier farola debe situarse en la hipérbola de Stammler, qué te parece! Voy a comprobar eso de las rectas simétricas a la de Euler (que pasa por O y el baricentro G). Para determinar el baricentro me basta escribir G = (A+B+C) / 3.