Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Julia y Mandelbrot.
Imagina que partes de un número cualquiera x1, por ejemplo, el 2. Lo elevas al cuadrado y le sumas el número de partida (22 + 2). El resultado es 6. Elevas este resultado al cuadrado y le sumas el número de partida. Obtienes 38. Luego elevas este número al cuadrado y vuelves a sumarle 2, y así sucesivamente, en cada paso elevas al cuadrado el resultado obtenido en el paso anterior y le sumas el número de partida.
Obtendrás la sucesión: {2, 6, 38, 1446, 2090918, ...}. Está claro que esta sucesión no parará de crecer en cada paso, y además, crecerá cada vez a mayor ritmo, superando cualquier límite que fijemos de antemano, por grande que sea. Es decir, no está acotada.
- Nota: Estas sucesiones son muy fáciles de obtener usando la hoja de cálculo. En la celda A1 pones el 2. En la casilla A2 escribes la fórmula A$1 + A1^2. Ahora solo tienes que arrastrar esta celda hacia abajo para obtener los siguientes valores. Observa que todos los valores dependen únicamente del valor del primer elemento, A1.
Si elegimos de partida el número 1, vemos que la sucesión que se genera tampoco está acotada: {1, 2, 5, 26, 677, 458330, ...}.
Si partimos de 0, la sucesión se vuelve aburrida, "constante": {0, 0, 0, 0, 0, ...}. Si partimos de -1, la sucesión se hace indecisa, "alternada": {-1, 0, -1, 0, -1, ...}. Si partimos de -2, la sucesión vuelve a ser aburrida: {-2, 2, 2, 2, 2, ...}. Pero, ahora, estas tres sucesiones sí están acotadas.
Si partimos de 0.25, la sucesión también está acotada. Es cierto que crece indefinidamente, pero nunca supera el valor 0.5, por muchos pasos que demos, aunque se aproxima a este valor tanto como queramos (decimos que converge y que su límite es 0.5). Por lo tanto, la sucesión está acotada entre 0.25 y 0.5.
Pero si partimos de cualquier número mayor que 0.25, por muy próximo que esté a 0.25 (por ejemplo, 0.250001), volveremos a obtener una sucesión no acotada. Esto significa que, a veces, para distinguir una sucesión acotada de una que no lo sea, hacen falta muchas iteraciones.
- Por ejemplo, mientras que toda la sucesión que empieza en 0.25 se mantiene por debajo de 0.5, la que parte de 0.250001 supera el valor 0.5 en el paso 1562, supera el 1 en el paso 3163 y vale más de 40.000 solo seis pasos después.
Otra sucesión que converge es la que comienza en -0.25. Además, lo hace a un valor determinado por un número muy famoso: el número áureo , pues esta sucesión converge al límite
También es convergente, y por lo tanto acotada, la sucesión que parte de -0.75. En este caso, su límite es -0.5.
Todavía más interesante es elegir -1.5 como valor de partida. La sucesión que genera oscila entre valores positivos y negativos, pero no de manera alternada entre dos valores constantes, sino de modo caótico:
{-1.5, 0.75, -0.9375, -0.62109, -1.11424, -0.25846, -1.4332, 0.55405, ...}
Podemos apreciar mejor este comportamiento caótico usando gráficas. En la siguiente imagen, hemos colocado los 100 primeros valores de esa sucesión en el eje Y, mientras que en el eje X colocamos el número de paso (1, 2, 3, 4 ...), como si fuese el transcurrir del tiempo:
Otra imagen equivalente la obtenemos usando un "diagrama telaraña" (cobweb plot). Tomamos el primer valor (-1.5) y le aplicamos la función que determina esta sucesión (elevar al cuadrado y sumar -1.5). El resultado lo llevamos al eje X y volvemos a empezar. Obtenemos así la siguiente gráfica (puedes ampliarla pulsando sobre ella):
Como vemos, en esencia, hay dos tipos de valores de partida. Por un lado están aquellos que generan sucesiones acotadas, como -2, -1.5, -1, -0.75, -0.25, 0 o 0.25, da igual si son aburridas, alternadas, convergentes o caóticas. Y por otro lado están aquellos valores de partida que, más tarde o más temprano, superan cualquier cota (decimos que divergen), como 0.250001, 1 o 2.
En la siguiente construcción puedes comprobar que la sucesión es acotada en el intervalo [-2, 0.25] y es no acotada en el resto de valores. Además, en el caso de ser acotada:
- Si partimos de -2, la sucesión se vuelve constante en 2.
- Si partimos de un valor entre -2 y -1, la sucesión es caótica.
- Si partimos de -1, la sucesión es alternada.
- Si partimos de un valor entre -1 y 0, la sucesión es convergente.
- Si partimos de 0, la sucesión es constante.
- Si partimos de un valor entre 0 y 0.25, la sucesión es convergente.
Cuando la sucesión sea convergente, puedes calcular cuál es exactamente su límite (como ya hemos hecho para los valores -0.25, -0.75 y 0.25) hallando la abscisa del punto de corte de la función f que determina la sucesión y la recta y = x. Es decir, resolviendo la ecuación x2 + A = x, donde A es el valor de partida.
Puedes variar el valor de partida en el panel izquierdo o deslizando el punto amarillo en el eje X.