７。円と円
１.円の方程式
＜２点の距離＞
点Pのｘ座標をx(P),ｙ座標をy(P)と表す。（geogebraではこれが使えます）
２点PQのｘ座標の差をdx(PQ）とかくとしたら、dx(PQ)=|x(P)-x(Q)|となる。
同様にして、dy(PQ)=|y(P)-y(Q)|
２点A(ax,ay),B(bx,by)があるとき線分ABの長さは
線分ABの傾きは(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))
＜円（周）の方程式＞
２点X(x,y)、C(a,b)があるとき線分XCの長さの２乗は
Cが定点で、XCが一定のｒとすると、
XはCを中心と半径ｒの円周の点集合（以後、簡単に円）を表す。
円の方程式は
中心C＝O(0,0)の場合は、特にとなる。
中心が原点の単位円は、特に。
＜円の方程式の一般形＞
を展開して、陰関数の形にすると、
さらに、とかける。xyの項はない。
（例）x2+y2+6x+8y+9=0はどのような図形か？
中心が(-3,-4）で半径４の円。
２．円と直線
＜円と直線の共有点＞
円Pと直線Lの共有点は連立方程式の解だから、２次方程式の解の個数と同じ。
・共通点が０個：PとLははなれていて、２次方程式の解なし。（D＜０)
円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径より大。
・共有点が１個：PとLは接していて、２次方程式は重複解。（D＝０）
円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径と等しい。
・共有点が２個：PとLは交わっていて、２次方程式は２実数解。（D＞０）
円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径より小。
（例）
「円ｘ2+y2=4がｙ＝ｘ＋ｋ（ｋ＞０）と接するときのｋの値」は？
代入して整理すると、2ｘ²＋2kx+k2 -4=0。D/4= k2-2k2+2･4=0 k2=8。k=2√2。
（別解）原点からx-y+k=0におろした垂線の長さが√4=2となる。
|1･0-1･0+k|/√(1²+1²)=2 k=2√2。
＜円の接線＞
円ｘ²＋ｙ²＝r²の点P（m,n)における接線はmx＋ny＝ｒ²。
（理由）
点Pが円周上にあるので、m²＋ｎ²＝ｒ²。
線分OPの傾きはn/mだから、接線はOPと垂直なので傾きは-m/nとなる。
したがって、接線は傾き-m/nで点（m,n)を通る直線である。
展開整理すると、n(y-n)+m(x-m)=0。mx+ny=m²+n²=r²。
（例）「点P(-5,5)からｘ²＋ｙ²＝10にひいた接線の方程式」は？
接点をQ(m,n)とすると、接線はmx+ny=10となり、
Pを通るから-5m+5n=10。n=m+2。
接点はｙ＝ｘ＋２上にあるから、円の方程式に代入して、
x²＋2x-3=(x+3)(x-1)=0となる。x=-3,1。
x=-3のとき、y=-3+2=-1。Q（−3,−1）を通る接線は-3x-y=10。
x=1のとき、y=1+2=3。Q(1,３）を通る接線はx＋3y＝10。
（例）「aが1より大きい実数で、円C：ｘ2+y2=1と直線ｌ：x=aがあるとき、
直線ｌ上の点Pから円Cに引いた２接線の接点をA、Bとする。直線ABが通る定点の座標」は？
接点をA(x1,y1),B(x2,y2)とすると、接線APとBPの式がx1x+y1y=1,x2x+y2y=1。
点Pの座標を(a,k）とおくと、
OPとABは垂直になるから、直線OPとABの式はy=a/k･x, y=-a/k(x-x1)+y1。
また、PはAP上にあるから、x1x+y1y=1を満たし、x1a+y1k=1となる。
だから、ABの式はｋ(y-y1)+a(x-x1)=ky+ax-(x1a+y1k)=ky+ax-1=0となるね。
これが任意のｋについて成り立つ条件はy=0,ax=1。a>1で円外の定点は(1/a, 0)
３．２円の関係
＜２円の位置関係＞
中心間の距離とｄ，２円の半径をR,ｒとするとき（Rはｒより大きい）。
・R＋ｒ＝ｄなら２円は外接する。
Rーｒ＝ｄなら２円は内接する。（大きい円に小さい円がぴったり入る）
・R＋ｒ＜ｄなら２円は離れる。
Rーｒ＞ｄなら、大きい円の中に接することなく小さい円がはいる。
・R＋ｒ＞ｄ＞Rーｒなら２円は２点で交わる。
（例）ｘ²＋ｙ²＝１²と（x−４)²＋(y−３)²＝ｒ²の２円が接するｒは？
中心間の距離ｄ＝５
外接は１＋ｒ＝５から、ｒ＝５−１＝４
内接はｒ−１＝５から、ｒ＝５＋１＝６。
（接点は２中心を結ぶ線ｙ＝３/４x上にある。）
（例）ｘ²＋ｙ²＝１²と（x−４)²＋(y−３)²＝3²の２円が接する直線が通る定点は？
円の中心をO(0,0),ｐ(4,3)とするとき、OP=５。
２円の共通外接線の接点を円OはR,S、円Pはその順にT,Uとする。
RTの延長線とSUの延長線の交点をVとすると、Vは直線OP上にある。
三角形VORとVPTの相似比は半径比１：3だから、
OはVPを１：３に外分している。
だから、定点V（-4/2,-3/2)=(-2.-1.5)を通る。
共通内接線も同様に相似比を使うと、
OPを１：３に内分する定点W（4/4,3/4)=(1,0.25)を
通過する。
４．円と放物線
円も放物線も２次曲線
１文字の関数したり、調べやすく式変形しよう。
（例）「放物線y=x2+k、円x2+y2=4が異なる４つ共有点をもつときのｋの範囲」は？
放物線のｙ切片k=-2で円と１点で接するときと放物線と円が２点で接するまでの間。
kは−２より小で、
x2=tでy=t+kを円の式に代入しt+(t+k)2-4=t2+(2k+1)t+k2-4=0の
D=(2k+1)2-4(k2-4)=4k+17>0から、ｋは-17/4より大。
（例）「aが1以上で、放物線y=a/2・x2と円x2+(y-a)2=aが接するときのaの値」は？
原点を通る放物線だから、円が原点を通り原点で接するか、原点以外の２点で接する。
円が原点を通るときは、中心(0,a)から原点までの距離が半径√aと等しくa=1。
a≠１のとき、x2=tでy=a/2tを円の式に代入しf(t)=t+(a/2･t - a)2-a=a2/4･t2+(1-a2)t+a2-a=0の
D=(1-a2)2-4a2/4(a2-a)=a4 - 2a2+1 -a4+a3=a3-2a2+1=(a-1)(a2-a-1)=0。
a2-a-1＝０からa=(1+√5)/2。このとき、1-a2=-a,a2-a=1
このとき、4f(t)=a2t2+4(1-a2)t+4(a2-a)=a2t2 - 4at+4=0 t=2a=x2。
y=2a/2・t=a/2・2a=a2。(x,y)=(±√(2a), a2)と求めることができる。