PAQ step by step Helper LR/LU - Algorithmus
Eingabe IE
P: {z , s , a}, Q: {-s , z , a} ==> Elementarmatrix (ez,s) = id(ei,i=1) mit ez,s=a, z (zeilennummer), s (Spaltennummer)
(6) Abfolge der Elementarmatrizen, Stellung Slider p (rot)
(8) Zuordnung Abfolge in Pzeilen A Qspalten Operationen:
! reverseIP links rechts IQ links rechts !
(10) Ergebnis P A Q wie in Abfolge eingestellt
(11) Letzte mit Slider p ausgewählte Operation Pp-1 A Qp-1 (Ausblenden, Eingabe abschließen mit ; )
(12...) Zusammenstellung der LR-Zerlegung
P* :=Reverse(Sequence(If( Element(Ip, jj,3)==0,Element(IP, jj ),{0} ), jj,1,Length(IP) )\{{0}})
Q* :=IQ
L:=(Product(Reverse(IP)) Product(Reverse(P_{*})))⁻¹
| Zeilenoperationen-Matrix P Product() {n,m,a} Zeile n += Zeile m * (a) {n,n,a} Zeile n = Zeile n * (a) {n,m,0} tausch Zeile n >< Zeile m {n,m,a} ==> en,m = a | | Spaltenoperationen-Matrix Q Product(IQ) {-n,m,a} Spalte n += Spalte m * (a) {-n,n,a} Spalte n = Spalte n * (a) {-n,m,0} tausch Spalte n >< Spalte m {-n,m,a} ==> em,n = a |
Beispiel LR-Zerlegung
A:={{1, 1, 1,1}, {1,1, 3, 4}, {3, 4, 2,1},{3,2,1,2}};
IE :={{1,2,0},{-1,4,0},{2,1,-1/4},{3,1,-1/4},{4,1,-1/2},{2,3,0},{3,2,-4/15 3/4},{4,2,-4/15 3/2 },{3,4,0},{-3,4,0},{4,3,-5/7 1/5},{1,1,1},{1,1,1}};
Zeilen/Spalten-Pivotsuche
A:={{4, -5, 3, 6}, {5, -6, 6, 5}, {-4, 2, 9, 3}, {2, -3, 0, 1}}
IE :={{1,3,0},{-1,3,0},{2,1,-6/9},{3,1,-3/9},{-2,3,0},{3,2,-3/23 16/3},{4,2,-3/23 2},{-3,4,0},{4,3,-23/67 5/23},{1,1,1}};
A:={{4, 2, 0, -2}, {2, -3, -2, 1}, {0, -2, 3, 4}, {-2, -2, 2, 5}}
IE :={{1,4,0},{-1,4,0},{2,1,-1/5},{3,1,-4/5},{4,1,2/5},{2,4,0},{-2,4,0},{3,2,-5/16 8/5},{4,2,-5/16 12/5},{3,4,0},{-3,4,0},{4,3,-2/7}};
ohne Pivotsuche (ausnutzen der Matrixstruktur: erzeuge PAQ==L durch Spalten-Operationen)
A:={{1, -5, 25, -125, 625}, {1, -3, 9, -27, 81},{1, 0, 0, 0, 0}, {1, 2, 4, 8, 16}, {1, 5, 25, 125, 625}}
IE :={{1,3,0},{-5,2,27},{-4,2,-9},{-3,2,3},{-5,3,-49},{-4,3,8},{-5,4,6},{1,1,1},{1,1,1}};
P* A = L R