Schräge Asymptoten
Wir können bereits das Verhalten von gebrochen-rationalen Funktionen im Unendlichen untersuchen. Dabei haben wir drei Fälle unterschieden: Zählergrad>Nennergrad, Zählergrad=Nennergrad und Nennergrad<Zählergrad.
Im ersten Fall, Zählergrad>Nennergrad, gibt es in seltenen Fällen einen besonderen Spezialfall: Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, so liegt eine schräge Asymptote vor. Das untersuchen wir nun genauer:
Zählergrad = Nennergrad + 1
In diesem Fall lässt sich die Funktion f immer folgendermaßen umschreiben:
D.h. man kann f in eine Summe aus einem linearen Funktionsterm mx + t und einem Restbruch umformen.
Beispiel: hier liegt der Spezialfall vor, weil der Zählergrad 2 und der Nennergrad 1 ist.
Nun formen wir f um, und zwar mit Hilfe der Polynomdivision:
Bei der Polynomdivision bleibt hier ein Rest 3 übrig. Dieser Rest muss auch noch durch (x-2) geteilt und dazu geschrieben werden, was im Ergebnis den Term ergibt.
Damit haben wir die Funktion folgendermaßen umgeschrieben:
mit dem linearen Term und dem Restbruch .
Probe
Man kann durch eine einfache Rechnung mit Bruchtermen die Probe machen, ob das Ergebnis stimmt:
Wir sehen, dass wir wieder beim Ausgangsterm ankommen und beide Terme tatsächlich äquivalent sind.
Schräge Asymptote
Aber was hat dieses Ergebnis mit einer schrägen Asymptote beim Verhalten im Unendlichen zu tun? Dazu betrachten wir das Verhalten im Unendlichen unserer Funktion f:
Im vorletzten Schritt haben wir verwendet, dass der Bruch für gegen null geht. Der vorletzte Term bedeutet, dass für unsere Funktion f sich näherungsweise so verhält wie die Gerade mit der Gleichung. Der Graph von f nähert sich für große x immer näher dieser Geraden an, die damit eine Asymptote, und zwar eine schräge Asymptote darstellt.
Sie können sich den Sachverhalt in folgendem Applet genauer ansehen. Mit dem Schieberegler können Sie x allmählich immer größer werden lassen. Zugleich werden automatisch die zu jedem x-Wert zugehörigen Punkte von f sowie von der Geraden y = 2x + 1 in das Koordinatensystem eingetragen.
Achten Sie auf Folgendes:
- Die y-Werte beider Punkte unterscheiden sich mit zunehmenden x immer weniger voneinander, weil die Werte des Bruches für zunehmende Werte von x immer kleiner werden.
- Daher liegen die Punkte von f und der Geraden für zunehmende x immer näher beieinander. D.h. der Graph von f nähert sich der Geraden mit zunehmenden x immer näher an. Die Gerade ist daher eine schräge Asymptote.
Testen und vertiefen Sie nun Ihr Verständnis anhand der folgenden Übungsaufgaben.
