Ângulos

Author:Rafael Losada Liste

Esta atividade pertence ao livro de GeoGebra GeoGebra Principia. A seguinte é uma das imagens geradas usando o scanner de cores dinâmico que mais gosto. O scanner possui uma versatilidade incrível e é capaz de criar um mapa de calor de praticamente qualquer situação [3, 19, 26, 27, 31].

Neste caso, o primeiro ponto isogónico I₁ é visualizado através da interseção dos lugares geométricos dos pontos a partir dos quais se vê sob o mesmo ângulo cada par de lados do triângulo.

Nota: I₁ coincide com o ponto de Fermat quando o maior ângulo do triângulo não excede 120º; caso contrário, o ponto de Fermat coincide com o vértice correspondente a esse ângulo. Pode ser calculado diretamente como o centro X(13) do triângulo: I₁ = PontosNotáveisdoTriângulo(O, A, B, 13).

Entretanto, construir o scanner demanda algum trabalho. No entanto, podemos usar o CAS para não apenas definir distâncias, mas também ângulos. Se alguém ainda acha que usar a expressão XA em vez da expressão sqrt((x − x(A))² + (y − y(A))²) também não economiza tanto trabalho, talvez agora repense, já que pode usar a expressão OXA, definida na folha CAS como: OXA(x,y):= Ângulo(O, X, A) em vez de sua equivalente algébrica (sendo O=(a, b) e A=(c, d)):

cos^–1((a c – a x + b d – b y – c x – d y + x² + y²) sqrt(a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴) / (a² c² – 2a² c x + a² d² – 2a² d y + a² x² + a² y² – 2a c² x + 4a c x² – 2a d² x + 4a d x y – 2a x³ – 2a x y² + b² c² – 2b² c x + b² d² – 2b² d y + b² x² + b² y² – 2b c² y + 4b c x y – 2b d² y + 4b d y² – 2b x² y – 2b y³ + c² x² + c² y² – 2c x³ – 2c x y² + d² x² + d² y² – 2d x² y – 2d y³ + x⁴ + 2x² y² + y⁴))

Naturalmente, essa expressão não passa de um desenvolvimento deduzido do produto escalar de dois vetores: vO(x,y):= Vetor(X, O) vA(x,y):= Vetor(X, A) OXA(x,y):= acos((vO vA)/(|vO|*|vA|)) A grande vantagem, além da conveniência, reside no fato de que o comando Ângulo nos permite explorar as relações angulares sem precisar conhecer sequer as operações básicas com vetores, como o produto escalar. Aqui, por exemplo, podemos ver o lugar geométrico correspondente aos pontos que formam com o segmento OA um ângulo igual (em radianos) à distância até o ponto A: OXA − XA = 0

Nota: As circunferências cujos arcos abrangem um ângulo OXA equivalente a XA radianos têm centros em: (O + A)/2 ± VetorPerpendicular(OA)/(2 tan(XA))

E aqueles que veem os segmentos OA e OB do mesmo ângulo: OXA − OXB = 0 Finalmente, a interseção deste último lugar geométrico com o correspondente à equação OXA – AXB = 0 é o ponto de Fermat procurado.

Autor da atividade e construção GeoGebra: Rafael Losada.

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