Aproximación de la longitud de un arco
Pensando en si deseamos obtener la longitud de un intervalo, basta con que contemos los espacios de diferencia, por ejemplo :
La longitud de A a B está dada por el segmento f, notemos que al mover A o B, esta puede aumentar o disminuir
Nuestro problema llega cuando queremos pensar en , pues existen otras curvas que no necesariamente son rectas, pues si todas fueran rectas, bastaría con sacar la norma del segmento dada por .
Entonces ¿cómo sacamos la longitud de una de estas curvas?
podemos empezar sacando una primera aproximación trazando una línea recta de el punto A (inicio) a el punto B (final), después podemos darnos cuenta de que si trazamos k segmentos y los sumamos , obtendremos una mejor medida de la longitud ej:
el primer segmento de A a B sería nuestra primera aproximación, posteriormente, al mover el deslizador podemos observar los n segmentos y la aproximación a la longitud de la curva.
Entonces podemos pensar esta suma como y la reescribimos como
ya que la función esta dada por (f1,f2), luego:
Así,
donde ti+1-ti es un escalar (uno conveniente)
y finalmente, todo esto se transforma en
notemos que nuestro "uno conveniente" se transforma en el dt (diferencial) y el escalar agregado se convierte en la derivada.