Przykład 3.7
Zbadamy jak ilość ekstremów lokalnych funkcji określonej wzorem
dla ,
zależy od wartości parametru . Rozwiązanie.Analizując rozwiązania przedstawione w wierszu 6 stwierdzamy, że funkcja ma
- jeden punkt stacjonarny, gdy ,
- trzy punkty stacjonarne, gdy .
dla ,
więc bezpośrednio z definicji wynika, że ma minimum lokalne w punkcie równe . W przypadku, gdy dla punktu mamy , a zatem funkcja nie ma ekstremum lokalnego w punkcie . Dla punktu mamy: i , zatem funkcja ma minimum lokalne w punkcie równe . Zastanów się, co można powiedzieć o trzecim punkcie stcjonarnym . Wykonaj odpowiednie obliczenia, np. modyfikując wiersz 10. Ilustracja graficzna:Ćwiczenie.
Obserwując widok wykresu funkcji z góry, zastanów się, dla jakich wartości parametru funkcja ma ekstremum lokalne należące do zbioru ? Postaw hipotezę, a następnie udowodnij ją wykorzystując obliczenia wykonane powyżej.