Circonferenza Formula dello Sdoppiamento
Formula dello Sdoppiamento ( Ipotesi la retta s non parallela asse y)
Γ : Circonferenza di centro C=(α,β) sia P=(x_0,y_0) un punto appartenente alla Circonferenza
sia s la retta passante per C e P ⇒ m_s = (y_0-β)/(x_0-α)
sia t la retta passante per P e perpendicolare alla retta s ⇒ m_t = - 1/m_s ⇒ m_t = - (x_0-α)/(y_0-β) segue
t : y - y_0 = - (x_0-α)/(y_0-β) * (x-x_0) ⇔ (y-y_0)*(y_0-β) + (x_0-α)*(x-x_0) (1)
Γ : (x-α)^2 + (y-β)^2 = r^2 (2)
P∈Γ ⇔ (x_0-α)^2 + (y_0-β)^2 = r^2 ⇔ (x_0-α)^2 + (y_0-β)^2 - r^2 = 0 (3)
sommando la (1) e la (3) si ottiene : (y-y_0)*(y_0-β) + (x_0-α)*(x-x_0) + (x_0-α)^2 + (y_0-β)^2 - r^2 = 0 ordinando e mettendo in evidenza si ha :
(y-y_0)*{(y_y_0)+(y_0-β)} + (x-x_0)*{(x-x_0) + (x_0-α)} - r^2= 0 ⇔ y_0*y -y_0*β-β*y + β^2 + x_0*x - α*x_0 + α^2 - r^2 = 0 ⇔
⇔ x_0*x -α*x_0 - α*(x_0+x) -β*(y_0+y) + α^2 + β^2 - r^2 = 0
poichè :
α = -a/2 β = -b/2 c = α^2 + β^2 - r^2
segue :
x_0*x + y_0*y + a* (x_0+x)/2 + b*(y_0+y)/2 + c = 0