Warunek wystarczający, Przykład 3.1
Niech będzie funkcją określoną na zbiorze i posiadającą pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Macierz określoną wzorem
Dalej dla ustalonego punktu będziemy stosować następujące oznaczenia:
Aby sprawdzić za pomocą GeoGebry, czy funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie stacjonarnym , postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:
1. W Widoku CAS wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji korzystając z polecenia Pochodna(...).
2. Definiujemy macierz Hessego i wyznaczamy macierz korzystając z polecenia Podstaw(...).
3. Obliczamy (korzystamy z polecenia Wyznacznik(...)) i (lub Element.
4. Na podstawie znaków i formułujemy odpowiedź. Obliczamy , o ile istnieje ekstremum lokalne w punkcie .
dla
nazywamy hesjanem (lub macierzą Hessego) funkcji . Przypomnijmy twierdzenie zwane warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego: Jeśli ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu oraz- , ,
- ,
| ! | W przypadku, gdy mówimy, że warunek wystarczający nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum lokalnego funkcji w punkcie . Oznacza to, iż funkcja może mieć w tym punkcie ekstremum lokalne, ale nie musi (patrz przykład 3.3). |
, .
Aby sprawdzić za pomocą GeoGebry, czy funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie stacjonarnym , postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:
1. W Widoku CAS wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji korzystając z polecenia Pochodna(...).
2. Definiujemy macierz Hessego i wyznaczamy macierz korzystając z polecenia Podstaw(...).
3. Obliczamy (korzystamy z polecenia Wyznacznik(...)) i (lub Element.
4. Na podstawie znaków i formułujemy odpowiedź. Obliczamy , o ile istnieje ekstremum lokalne w punkcie .
Przykład.
Stosując podaną instrukcję sprawdzimy, czy funkcja określona wzorem
dla
posiada ekstrema lokalne w punktach stacjonarnych i (punkty te wyznaczyliśmy w przykładzie 9). Rozwiązanie:Ponieważ dla punktu wyznacznik , więc funkcja nie ma ekstremum lokalnego w tym punkcie.
Dla punktu wyznacznik , zatem funkcja ma ekstremum lokalne w tym punkcie. Ponadto ponieważ , więc jest to minimum lokalne.
Ostatecznie stwierdzamy, że badana funkcja posiada tylko jedno ekstremum lokalne i jest to minimum w punkcie o wartości .