Atividade 3 - Concreção 9983
Em Concreção 9983 Sacilotto utiliza transformações geométricas para compor hexágonos não convexos em forma de letras L, aliadas ao uso de cores vibrantes, resultando em uma peça de grande impacto visual — uma verdadeira obra prima, assim como todas as suas composições. Sacilotto sempre foi muito além da simples composição de formas geométricas e fazia uso de uma paleta de cores exclusiva. Nesta obra, no meu ponto de vista, ele se destacou pela diversidade de materiais e métodos empregados.
Figura 3 - Estudo de Concreção 9983, em guache
Figura 4 - Estudo de Concreção 9983, base de distribuição de cores.
Suas obras frequentemente apresentam padrões geométricos rigorosos e formas abstratas que interagem de maneira dinâmica, criando ilusões de movimento. Ele usava linhas, polígonos, círculos, entre outros, organizados de forma precisa, gerando composições que parecem mudar de posição conforme o espectador se move. Essa sensação de movimento é gerada pela repetição e pela transformação de formas geométricas, o que cria uma relação direta com a ideia do que denominamos Geometria de Movimento. A Geometria de Movimento, ou Geometria das Transformações, ao invés de ter como foco o estudo de figuras planas e suas propriedades, evidencia os movimentos que tais figuras podem sofrer no plano, sem haver alteração de sua forma ou de suas propriedades. Nesta geometria, o foco está associado às transformações isométricas: rotação, translação e reflexão.
Figura 5 - Concreção 9983
A presença da Geometria de Movimento é uma característica marcante em várias obras de Sacilotto. No caso específico de Concreção 9983, é possível notar a presença de rotações e translações.
Nas atividades anteriores, utilizamos os comandos Transladar, Reflexão e Girar, inserindo-os na programação de botões para recriar obras de Sacilotto. Ao clicar nesses botões, pudemos acompanhar, passo a passo, a construção das releituras. No entanto, esse processo pode ser bastante exaustivo e trabalhoso ao reproduzir uma obra de arte desse artista.
Sacilotto era minucioso em seus cálculos, explorando cuidadosamente as propriedades matemáticas e geométricas para compor suas obras. Já vimos que ele utilizava simetrias, repetições e transformações geométricas de forma precisa para alcançar o efeito desejado. Sendo assim, recriar algumas de suas obras utilizando a programação por GeoGebraScript permite não apenas uma releitura visual, mas também uma compreensão mais profunda de seus processos criativos. Pelo uso de sequências na programação, podemos automatizar transformações como translações, rotações e reflexões, facilitando a replicação das estruturas geométricas que Sacilotto empregava com tanta precisão.
![Fonte: Adaptado de [i]Concreção 9983.[/i]](https://www.geogebra.org/resource/caapuh8t/m9wnA1qq9WVf28Gi/material-caapuh8t.png)
Ao realizar uma análise cuidadosa de cada uma das formas L presentes na obra, é possível observar que todas elas são representações de uma forma L, a qual denominaremos "forma original", geradas por meio da aplicação de duas transformações isométricas: rotação e translação. Após aplicar essas transformações à forma original, as imagens são realocadas em uma malha quadriculada, resultando na composição que contém 49 formas dispostas conforme exibido na obra.
Primeiros passos para realizar a releitura da obra.
Começaremos a confecção de uma releitura da obra Concreção 9983. Para isso, abra uma nova janela do navegador e acesse o GeoGebra online através do link https://www.geogebra.org/classic?lang=pt_PT.
- Primeiramente, configure seu GeoGebra para que a Janela de Álgebra, a Janela de Visualização e a Janela de Visualização 2 estejam abertas, permitindo assim um trabalho conjunto e eficaz entre elas.
- Adicione, no campo de Entrada da Janela de Álgebra, os pontos A (0,0), B (1,0), C (1, 1), D (-1,1), E (-1,-1) e F (0,1).
- Utilizando o botão Polígono
, crie o hexágono não convexo que representará a forma original da obra Concreção 9983. Você pode optar por remover os rótulos de pontos e segmentos.
Entendendo o comando Sequência em GeoGebraScript.
Criaremos uma malha quadriculada de pontos que serão a imagem do ponto A, do Polígono(A,B,C,D,E,F) - denominado pol1 pelo GeoGebra - por meio de uma transformação isométrica. Para tanto utilizaremos o comando Sequência da linguagem GeoGebraScript.
No GeoGebraScript, o comando Sequência é utilizado para gerar uma lista de elementos seguindo um padrão definido por uma expressão matemática. Esse comando é muito útil para criar conjuntos de pontos, objetos geométricos ou figuras com base em uma fórmula repetida. A estrutura básica desse comando é:
Sequência(Expressão, Variável, Valor Inicial, Valor Final), sendo que:
- Expressão: É a fórmula ou objeto que será gerado em cada passo da sequência.
- Variável: É a variável usada na expressão que controla a repetição.
- Valor Inicial: O valor inicial da variável.
- Valor Final: O valor final da variável.
Questão 01
Ao criar os pontos de uma malha quadriculada no plano cartesiano, é essencial definir os pares ordenados que representarão esses pontos. No caso da malha necessária para a releitura de Concreção 9983, tomando a origem (0,0) como o primeiro ponto dessa malha, quais seriam as coordenadas dos outros pontos?
Questão 02
Ao analisar os pares ordenados apresentados por você na questão anterior, identifique quais valores variáveis as abscissas e as ordenadas dos pontos podem assumir.
Criando a malha quadriculada de pontos utilizando o comando Sequência em GeoGebraScript.
Para criar uma malha de pontos no plano cartesiano, é essencial definir corretamente cada componente do comando Sequência. Devemos, portanto, estabelecer a Expressão, a Variável, o Valor Inicial e o Valor Final.
Comecemos definindo a variável i que representará os valores das abscissas e das ordenadas dos pontos na malha. Nas questões 01 e 02, discutimos esses valores, e cada coordenada varia de 0 a 6.
Como a malha deve conter 49 pontos, distribuídos em 7 linhas e 7 colunas, a expressão será do tipo (x(i),y(i)), onde x e y dependem da variável i, que por sua vez está relacionada à quantidade total de pontos na malha.
Definimos n = 7 como o número de pontos em cada linha ou coluna, o que resulta em n2 pontos na malha. A variável i deve variar de 0 a 72−1, pois desejamos incluir a origem como um dos pontos e evitar pontos com ordenada igual a 7.
De fato:
- Ao calcularmos o resto da divisão de i por n = 7, obteremos valores que variam de 0 a 6, os quais representarão as abscissas dos pontos da malha.
- Da mesma forma, ao calcularmos o quociente da divisão de i por n = 7, os valores também variarão de 0 a 6, representando as ordenadas dos pontos da malha.
Observação: Caso a malha de pontos esteja visível na Janela de Visualização 1, você pode modificar sua visibilidade clicando com o botão direito do mouse sobre a Sequência L. No menu de Configurações, vá até a aba Avançado, desative a opção Janela de Visualização e ative a opção Janela de Visualização 2. Além disso, você pode ajustar o tamanho das janelas arrastando as bordas e ajustando-as conforme necessário.
Realizando a releitura da obra de Sacilotto utilizando o comando Sequência do GeoGebraScript.
Depois de construir a malha com os 49 pontos, utilizaremos transformações isométricas para realizar a releitura de Concreção 9983. Para isso, comece respondendo às perguntas que ajudarão a entender o novo comando Sequência que será criado.
Utilize a imagem a seguir para responder o questionamento.
Questão 03
Considerando a forma original e a quantidade de formas dispostas nessa linha, qual é o ângulo de rotação, em relação ao ponto P, que deve ser aplicado à forma original para gerar as formas subsequentes? E em que sentido essa rotação deve ocorrer?
Questão 04
Após realizar a rotação da forma original, qual isometria deve ser aplicada para obter as 7 formas presentes na linha?
Vamos iniciar a criação de um comando Sequência que reproduza as 49 formas que compõem a obra como um todo. Dentre essas 49 formas, uma será designada como a forma original, que, por meio da aplicação de transformações geométricas, gerará 48 imagens que, juntamente com ela, constituirão a obra completa.
Começaremos pela rotação da forma original. É importante lembrar que o comando Girar(Objeto, Ângulo, Ponto) é utilizado para realizar a rotação do objeto desejado. Assim, será necessário aplicar o comando Girar(pol1, -15°, P) um total de 48 vezes.
Entretanto, cada uma das 48 formas deverá ser transladada em uma direção específica, determinada por um vetor, para cada um dos pontos presentes na malha quadriculada. Portanto, devemos definir uma sequência que translade a forma original de forma a obter todos os polígonos rotacionados em relação à forma original, posicionando-os em um ponto na malha quadriculada.
Criaremos outra sequência, M, com as características:
M = Sequência (Expressão, Variável, Valor Inicial, Valor Final) sendo i a variável com valor inicial 1 e valor final 49, pois ao todo serão 49 formas.
Na expressão, devemos aplicar a translação após a rotação da forma inicial. A translação deverá considerar o vetor dado pela direção L(i) em que L representa a sequência de pontos da malha.
Portanto M = Sequência(Transladar(pol1,L(i)), i, 1, 49)
Questão 05
Volte à construção iniciada no GeoGebra online e digite, no campo de Entrada na janela de Álgebra, o comando M = Sequência(Transladar(pol1,L(i)), i, 1, 49). O que você observa após a inserção desse comando? Caso deseje, configure para que M apareça na janela de visualização 2.
Questão 06
O comando oportunizou uma releitura de Concreção 9983? Justifique sua resposta.
Com o comando descrito anteriormente, as formas foram transladadas mas não rotacionadas. Portanto, o comando M = Sequência(Transladar(pol1,L(i)), i, 1, 49) precisa considerar como forma a ser transladada aquela que representa a rotação da forma original.
Ao invés de transladar pol1, realizaremos a translação de Girar(pol1, -15°, A) considerando que o ponto A, na construção do GeoGebra, é o correspondente ao ponto P na figura ilustrativa da primeira linha da obra de Sacilotto.
Questão 07
Volte à construção iniciada no GeoGebra online e digite, no campo de Entrada na janela de Álgebra, o comando M = Sequência(Transladar(Girar(pol1, -15°, A),L(i)), i, 1, 49). O que você observa após a inserção desse comando? Caso deseje, configure para que M apareça na janela de visualização 2.
Questão 08
O comando oportunizou uma releitura de Concreção 9983? Justifique sua resposta.
A rotação, nessa releitura, deve considerar não a forma original mas, sim, a forma imediatamente anterior quando consideramos a linha em que se encontra. No comando
M = Sequência(Transladar(Girar(pol1, -15°, A),L(i)), i, 1, 49) alteraremos o ângulo de 15° por (x(L(i))+y(L(i)))·(-15°) em que:
- L(i): Refere-se a um ponto específico na malha quadriculada, onde i identifica o ponto na sequência.
- x(L(i)): Esta parte da expressão extrai a coordenada x do ponto L(i).
- y(L(i)): Esta parte da expressão extrai a coordenada y do ponto L(i).
- x(L(i))+y(L(i)): Essa soma representa a combinação das coordenadas x e y do ponto L(i).
- (−15°): Este fator é um ângulo em graus, utilizado para uma rotação.
Questão 09
Volte à construção iniciada no GeoGebra online e digite, no campo de Entrada na janela de Álgebra, o comando M = Sequência(Transladar(Girar(pol1, (x(L(i))+y(L(i)))*(-15°), A),L(i)), i, 1, 49). O que você observa após a inserção desse comando? Caso deseje, configure para que M apareça na janela de visualização 2.
Questão 10
O comando oportunizou uma releitura de Concreção 9983? Justifique sua resposta.
Questão 11
Que transformação geométrica pode ser aplicada à forma original para que, após sofrer rotação e translação, as formas dispostas na malha quadriculada representem a releitura da obra?
Para finalizar a releitura de Concreção 9983, aplicaremos a redução da forma geométrica original por meio de homotetia. Isso pode ser feito na forma já rotacionada, antes de ser transladada.
O comando Homotetia(Objeto, Razão, Centro) deve ser utilizado levando em conta o objeto que desejamos reduzir, ou seja, a forma original já rotacionada. A razão deve ser um valor numérico menor que 1 para que ocorra a redução, e o centro da homotetia será o ponto P da forma original, que na construção do GeoGebra é representado como o ponto A.
Aplicando redução em (Girar(pol1, (x(L(i))+y(L(i)))*(-15°), A) podemos utilizar o comando Homotetia da seguinte forma:
Homotetia((Girar(pol1, (x(L(i))+y(L(i)))*(-15°), A), 0.5, A)
Após aplicada a homotetia, podemos transladar na direção do vetor L(i).
Questão 12
Escreva o comando sequência que realizará a redução, em relação à forma original, das formas presentes na obra de Luiz Sacilotto.
Volte à construção iniciada no GeoGebra online e digite, no campo de Entrada na janela de Álgebra, o comando M = Sequência(Transladar(Homotetia(Girar(pol1, (x(L(i))+y(L(i)))*(-15°), A), 0.35, A),L(i)), i, 1, 49) e conclua a releitura de Concreção 9983 segundo sua composição geométrica.
Fica o convite para explorar como colorir as formas, de modo que a releitura também inclua o aspecto cromático da obra.
Questão 13
Explore uma atividade interativa que simula o processo de criação utilizado por Sacilotto em seu estúdio. Ajuste os controles deslizantes: n: que determina o número de formas organizadas em linhas e colunas, e k: que controla o grau de ampliação de cada forma. Experimente e compare sua interpretação com a obra Concreção 9983. Você é capaz de identificar os valores de n e k que permite uma reprodução fiel da obra?