Урок 11
2 Задача
В тетраэдре DABC точка М - середина DA, РDС и DР:РС=1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.
BD = AD = CD = AB = CA = BC = a = равны по длине
Треугольник KMP - равнобедренный
Треугольник ABD - равносторонний
DM =
KM = MP
KD = KP = PD =
По теореме косинусов:
= DM2 + KD2 - 2 * DK * D * cos
= (a/2)2 + (a/4)2 - 2 * a/2 * a/4 * cos∠60° = a2/4 + a2/16 - 2 * a2/8 * 0.5 = a2/4 + a2/16 - a2/8 =
KM = MP = =
По теореме Пифагора:
h (KMP) = - (0.5KP)2
h =
h =
S (KMP) = h0.5 * KP = 0.5 * * =
Ответ: S (треугольник KMP) =
3 Задача
В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основание АВСD - квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани прямоугольники, боковое ребро равно 3 см. Е - середина A1B1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью , проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.
По Теореме Пифагора находим AC:
AC2 = √AB2 + BC2 = √82 + 82 = 8√2 (см)
FE - это редняя линия треугольника A1B1C1
FE = 0.5A1B1C1 = 0.5AC = 0.5 * 8√2 = 4√2 (см)
По Теореме Пифагора находим AE:
AE = FC = √AA12 + (0.5A1B1)2 = √9 + 16 = 5 (см)
P (EAFC) = AC + FE + AE + CF
P (EAFC) = 8√2 + 4√2 + 5 + 5 = 10 + 12√2 (см)
Ответ: P (CAEF) = 10+12√2 (см)