Resumen e introducción
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Resumen
Desde su origen, GeoGebra está diseñado específicamente para mostrar la representación dual, gráfica y algebraica, de los objetos matemáticos. En esta presentación, como eje central, mostraré algunos procedimientos que explotan las posibilidades didácticas de esta dualidad.
Estos procedimientos, expuestos a estudiantes de 15 o 16 años, son tan sencillos, atractivos y rápidos de crear que permiten que sean los propios alumnos y alumnas quienes los generen y utilicen desde cero... ¡con todo éxito!
A pesar de su sencillez, veremos que son tan poderosos que nos permiten bucear en profundidades matemáticas prácticamente inabordables en el aula de secundaria sin la ayuda de GeoGebra, desde estructuras algebraicas (como los cuerpos) hasta métricas no euclídeas (como la taxicab).
- Nota: Todas las construcciones GeoGebra de este libro GeoGebra han sido realizadas por quien aquí las presenta. Ninguna de ella, salvo la construcción Burbujas, hace uso de programación JavaScript.
El autor
En mis 40 años de docencia como Profesor de Enseñanza Secundaria, en la búsqueda de incentivar el interés de alumnos y alumnas, he investigado la relación de las Matemáticas con otras áreas, tan diversas como los Juegos 
, la Percepción y la Música . La llegada de la Geometría Dinámica supuso nuevas y grandes oportunidades para atraer a los estudiantes y promover la creación de sus propias construcciones.
Mi relación con GeoGebra se remonta a 2005, año en que conocí este programa creado por Markus Hohenwarter [7], aunque ya había trabajado con otros programas de geometría dinámica. Dos años después, en 2007, el profesor Tomás Recio me convoca al Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM , Cantabria) que reunió, entre otros, a varios profesores de secundaria españoles pioneros en el uso didáctico de la geometría dinámica. En esa reunión defendí la eficiencia de GeoGebra [10] frente a otros programas como Cabri. Una consecuencia de ese encuentro fue la formación del grupo G⁴D , constituido por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada y el que esto escribe.
Dos años más tarde, desde el Ministerio de Educación de España, Antonio Pérez , entonces director del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE, hoy INTEF ), me encarga la realización de cursos para la formación en GeoGebra del profesorado de Educación Primaria y Secundaria [11, 13], así como la creación de un conjunto de actividades completas (introducción del tema, construcción a explorar y cuestionario) para el alumnado, clasificadas por temas y niveles, que bautizamos como Proyecto Gauss [14, 1]. Simultáneamente, Tomás pone en marcha el primer Instituto GeoGebra en lengua española, el Instituto GeoGebra de Cantabria , del cual soy Formador desde su creación.
Introducción
El objetivo principal de esta conferencia es mostrar la estrecha relación entre los procedimientos algebraicos y geométricos usando GeoGebra. Una gran parte del tiempo lo dedicaré a presentar actividades que pueden ser abordadas por estudiantes de educación secundaria mediante construcciones realizadas por sí mismos. Al margen de que se pueden emplear de modo esporádico para explorar algunos contenidos específicos, este tipo de construcciones adquiere toda su potencia didáctica en una enseñanza de las matemáticas basada en la adquisición de competencias.
En la primera parte de esta presentación detallaré procedimientos muy sencillos que aprovechan la fuerte interconexión entre geometría y álgebra que da nombre a GeoGebra (de ahí el título de Principia) y permiten proponer a estudiantes de enseñanza secundaria (de unos 15 o 16 años) exploraciones matemáticas "en principio" fuera de su alcance, dejando a las poderosas herramientas de GeoGebra el pesado cálculo algebraico y geométrico, del mismo modo que dejamos actualmente a las calculadoras y hojas de cálculo el pesado y aburrido cálculo aritmético.
En particular, la facilidad con la que podemos crear rectas y circunferencias paralelas nos ayudará a construir un offset dinámico cuyo rastro de color permitirá visualizar una gran variedad de lugares geométricos. Al mismo tiempo, el CAS, aplicado a las distancias euclídeas, nos facilitará la creación de curvas implícitas que se ajusten a esos lugares. También veremos cómo convertir, en ocasiones, esas curvas implícitas en ecuaciones e inecuaciones.
Ampliaremos el uso del CAS a ángulos y también abordaremos otras distancias no euclídeas, como la distancia del Taxi.
Finalizaremos esta primera parte con un ejemplo recíproco, en el que recurrir a la geometría nos facilitará la visualización y manipulación de los conceptos y propiedades inherentes a la estructura algebraica de cuerpo.
En la segunda parte, mostraré algunas ideas para realizar construcciones algo más sofisticadas, pero no menos atractivas, que pueden servir de modelo para ser analizadas o modificadas por el alumnado.
Primero veremos cómo las listas de GeoGebra facilitan la incorporación de gran cantidad de información. Como ejemplo, representaremos la línea costera de los continentes en una única lista, obteniendo una plantilla de la Tierra.
A continuación usaremos los vectores para modificar en todo instante (gracias a los guiones de GeoGebra) la posición de los puntos de acuerdo con nuestros intereses. Estos vectores pueden usarse para combinar fuerzas repulsivas (como partículas del mismo signo), atractivas (como las usadas por Newton para formular su ley de gravitación universal) o simplemente reactivas (como las del choque elástico).
Es más, podemos usar los vectores para crear una "geometría elástica". En ella, los puntos no poseen un emplazamiento definido sino que su posición en cada instante es el resultado de la aplicación de las fuerzas mencionadas. Así, por ejemplo, en la geometría elástica un punto no "está" en una circunferencia, sino que es irremediablemente atraído por ella, tiene "su límite" en ella.
Por último, como aplicación de este tipo de geometría, veremos ejemplos de construcción de tensegridades.
, la Percepción y la Música . La llegada de la Geometría Dinámica supuso nuevas y grandes oportunidades para atraer a los estudiantes y promover la creación de sus propias construcciones.
Mi relación con GeoGebra se remonta a 2005, año en que conocí este programa creado por Markus Hohenwarter [7], aunque ya había trabajado con otros programas de geometría dinámica. Dos años después, en 2007, el profesor Tomás Recio me convoca al Centro Internacional de Encuentros Matemáticos (CIEM , Cantabria) que reunió, entre otros, a varios profesores de secundaria españoles pioneros en el uso didáctico de la geometría dinámica. En esa reunión defendí la eficiencia de GeoGebra [10] frente a otros programas como Cabri. Una consecuencia de ese encuentro fue la formación del grupo G⁴D , constituido por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada y el que esto escribe.
Dos años más tarde, desde el Ministerio de Educación de España, Antonio Pérez , entonces director del Instituto de Tecnologías Educativas (ITE, hoy INTEF ), me encarga la realización de cursos para la formación en GeoGebra del profesorado de Educación Primaria y Secundaria [11, 13], así como la creación de un conjunto de actividades completas (introducción del tema, construcción a explorar y cuestionario) para el alumnado, clasificadas por temas y niveles, que bautizamos como Proyecto Gauss [14, 1]. Simultáneamente, Tomás pone en marcha el primer Instituto GeoGebra en lengua española, el Instituto GeoGebra de Cantabria , del cual soy Formador desde su creación.
Introducción
El objetivo principal de esta conferencia es mostrar la estrecha relación entre los procedimientos algebraicos y geométricos usando GeoGebra. Una gran parte del tiempo lo dedicaré a presentar actividades que pueden ser abordadas por estudiantes de educación secundaria mediante construcciones realizadas por sí mismos. Al margen de que se pueden emplear de modo esporádico para explorar algunos contenidos específicos, este tipo de construcciones adquiere toda su potencia didáctica en una enseñanza de las matemáticas basada en la adquisición de competencias.
En la primera parte de esta presentación detallaré procedimientos muy sencillos que aprovechan la fuerte interconexión entre geometría y álgebra que da nombre a GeoGebra (de ahí el título de Principia) y permiten proponer a estudiantes de enseñanza secundaria (de unos 15 o 16 años) exploraciones matemáticas "en principio" fuera de su alcance, dejando a las poderosas herramientas de GeoGebra el pesado cálculo algebraico y geométrico, del mismo modo que dejamos actualmente a las calculadoras y hojas de cálculo el pesado y aburrido cálculo aritmético.
En particular, la facilidad con la que podemos crear rectas y circunferencias paralelas nos ayudará a construir un offset dinámico cuyo rastro de color permitirá visualizar una gran variedad de lugares geométricos. Al mismo tiempo, el CAS, aplicado a las distancias euclídeas, nos facilitará la creación de curvas implícitas que se ajusten a esos lugares. También veremos cómo convertir, en ocasiones, esas curvas implícitas en ecuaciones e inecuaciones.
Ampliaremos el uso del CAS a ángulos y también abordaremos otras distancias no euclídeas, como la distancia del Taxi.
Finalizaremos esta primera parte con un ejemplo recíproco, en el que recurrir a la geometría nos facilitará la visualización y manipulación de los conceptos y propiedades inherentes a la estructura algebraica de cuerpo.
En la segunda parte, mostraré algunas ideas para realizar construcciones algo más sofisticadas, pero no menos atractivas, que pueden servir de modelo para ser analizadas o modificadas por el alumnado.
Primero veremos cómo las listas de GeoGebra facilitan la incorporación de gran cantidad de información. Como ejemplo, representaremos la línea costera de los continentes en una única lista, obteniendo una plantilla de la Tierra.
A continuación usaremos los vectores para modificar en todo instante (gracias a los guiones de GeoGebra) la posición de los puntos de acuerdo con nuestros intereses. Estos vectores pueden usarse para combinar fuerzas repulsivas (como partículas del mismo signo), atractivas (como las usadas por Newton para formular su ley de gravitación universal) o simplemente reactivas (como las del choque elástico).
Es más, podemos usar los vectores para crear una "geometría elástica". En ella, los puntos no poseen un emplazamiento definido sino que su posición en cada instante es el resultado de la aplicación de las fuerzas mencionadas. Así, por ejemplo, en la geometría elástica un punto no "está" en una circunferencia, sino que es irremediablemente atraído por ella, tiene "su límite" en ella.
Por último, como aplicación de este tipo de geometría, veremos ejemplos de construcción de tensegridades.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.