Diseño de un Arco Carpanel de Tres Centros

Elementos de un Arco Carpanel

El arco carpanel de tres centros, se traza mediante tres circunferencias tangentes. Marcando la casilla Auxiliares en el applet a continuación, podrás comprobar que: (*) si te es más cómodo, desmarca la poción de Zona exterior y Dovelas.

El centro de la primera está en la mediatriz de la línea de impostas (los extremos en los que se apoya el arco), y esta primera circunferencia pasa por el punto que hayamos determinado como altura del arco.
Los enlaces se sitúan en uno de los puntos de este arco, y su simétrico respecto la mediatriz anterior.
Los otros dos centros se encuentran en la intersección de la línea de impostas con la que une el punto de enlace con el primer centro. Sus correspondientes arcos se trazan desde los puntos de enlace hasta las impostas.
Si queremos una flecha (altura) y luz (ancho) concretos, esto determinará el lugar en el que deben ir los enlaces.

Diseñamos un Arco carpanel

Experimenta con el applet moviendo los diferentes puntos :

Los que tienen forma de triángulo, para modificar las dimensiones del arco: la distancia entre las impostas, la altura máxima del arco, y la altura del relleno.
El punto marrón, para cambiar la zona de enlace de las circunferencias.

(*) Para visualizar mejor las tres circunferencias resultantes, ten marcado relleno Entre arcos y desmarcadas las Dovelas.

Construcción con regla y compás

Como hemos visto, dada la luz y la flecha, podemos trazar muchos posibles arcos carpaneles, según situemos el centro del primer arco.

Veremos un procedimiento cómodo para trazar uno de estos posibles arcos, que puede hacerse fácilmente con regla y compás.
Después, en las siguientes actividades haremos un pequeño análisis de los arcos carpaneles y la forma de construirlos.

Trazado con regla y compás

Dada la luz del arco, trazamos el correspondiente arco de medio punto.
Considerando la flecha, trazamos el segmento que une uno de las impostas con el punto donde queremos que esté la clave.
A ese segmento, le quitamos la distancia que hay de la clave al extremo superior del arco de medio punto. (*) Para trazarlo con compás, podemos cortar la circunferencia con centro en la clave y pasa por el extremo superior del arco de medio punto, con el segmento.
Trazamos la mediatriz del segmento resultante. Los puntos de corte nos dará los centros de las circunferencias:
- Con la mediatriz de las impostas: arco central.
- Con la línea de impostas: arcos laterales.

Podemos visualizar mejor la construcción en el siguiente applet. Para elegir la configuración del arco, modificar los puntos azules. Más adelante veremos cuál de los posibles arcos es el óptimo, y que es precisamente el obtenido con esta construcción. En este enlace podemos ver la descripción de una construcción real de este arco.

Arco carpanel con regla y compás

A. Analizamos los elementos del arco

Observa la definición del arco carpanel y la primera construcción que hicimos, para responder las siguientes cuestiones. Ejercicio: justifica, utilizando tus conocimientos matemáticos el hecho de que la forma descrita para construir el arco nos asegura que

Las primera circunferencia es tangente con las otras dos, precisamente en los puntos de enlace.
Estas otras dos circunferencias son tangentes a la perpendicular a la línea de impostas. (*) En el siguiente apartado comentaremos cómo, eligiendo adecuadamente el primer centro/punto de enlace, conseguiremos que, además, los puntos de tangencia sean precisamente las impostas.
¿Por qué son importantes esas tangencias? ¿Qué ocurriría si no fuesen tangentes?

B. Elegimos el punto de enlace

En este artículo de la revista SUMA sobre la Geometría del arco Carpanel, explican que:

No importa dónde situemos el punto de enlace, el ángulo que se forma con el punto de altura máxima del arco y (cualquiera de) las impostas es 135º (3π/4).
El incentro del triángulo rectángulo con hipotenusa el segmento que une los puntos anteriores y que tiene un cateto paralelo a la línea de impostas, sirve como punto de enlace para trazar el arco óptimo. (Marca Auxiliares y Zona de enlaces para visualizar esa construcción). (*) El arco carpanel óptimo es en el que las curvaturas de las circunferencias son lo más parecidas posibles.

Ejercicio: sabiendo esto, y con la ayuda de la visualización del applet explica, utilizando tu vocabulario matemático:

Cómo encontrar el centro del primer arco, una vez que conocemos el punto de altura máxima y el que queremos que sea el punto de enlace.
Si tenemos ya fijado el punto de altura máxima y las impostas ¿crees que cualquier punto sirve como punto de enlace, o debe cumplirse alguna condición?
Indica cómo encontrar la zona o lugar geométrico en que es posible situar el punto de enlace cuando conocemos las impostas y la altura máxima. (*) Pista: está relacionado con el concepto de arco capaz.

C. Reflexionamos. Trazando un segundo arco para dar grosor

Si utilizamos una única línea para modelizar el arco, puede parecernos demasiado "fino" y queramos trazar otro arco por fuera para dar la apariencia de tener más grosor, de manera que la separación con el primero sea la misma en todos los puntos. (Observa qué ocurre al desmarcar Trazado-Zona Exerior y Relleno-Entre Arcos. Luego, con las dos opciones marcadas, observa cómo se modifica la construcción al aumentarl el grosor, moviendo el punto con forma triangular ▲). Ejercicio: utilizando vocabulario matemático para razonar (*) indicaciones: puedes ayudarte del applet anterior, o crear tu propio arco carpanel para investigar

por qué una traslación del primer arco no sirve para resolver este problema.
qué problema nos encontramos si intentamos resolver el problema con una única homotecia. Por ejemplo, de centro el punto medio de las impostas, o el primer centro. En el applet, el problema se ha resuelto utilizado varias homotecias.
Identifica cuáles son, indicando sus centros y cómo podríamos obtener sus correspondientes razones.
Justifica por qué, en este nuevo arco, los diferentes trazos cumplen propiedades de tangencia similares a las del primer arco carpanel.

D. Reflexionamos. Diseñamos dovelas

El arco suele construirse ensamblando piezas denominadas dovelas (marca la opción Dovelas para visualizarlas).

¿Qué forma geométrica tienen? (cuál es su nombre)
¿Qué estrategias podríamos seguir para seleccionar los puntos del arco que nos servirán para construir las dovelas? Indica si sabrías cómo modelar en GeoGebra la estrategia que has elegido.
En el applet, lo que se ha hecho es repartir los diferentes puntos (por ejemplo 9, para crear 9 dovelas) de manera que la longitud del arco entre ellos sea siempre la misma.
- Con este método, ¿cómo calcularías esos puntos si tuviésemos una semicircunferencia, en lugar de tres arcos enlazados?
- Intenta ampliar la solución considerando que tenemos tres arcos enlazados (y por tanto, con diferentes centros y radios/curvaturas).

E. Calcula

Anteriormente, hemos calculado el centro de las circunferencias a partir del ancho (luz) y alto (flecha) del arco, y el punto que queremos que sea el enlace entre los arcos. Supongamos ahora que, dado el centro de la circunferencia central, la luz y la flecha, quisiéramos calcular cuál debería ser el centro de las circunferencias laterales. Para encontrarlo, calcula la distancia a la que está del punto medio de los extremos del arco. Por comodidad, denominaremos