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Introduzione agli INTEGRALI DEFINITI

Auteur:Elena Bertola
Abbiamo visto che l'integrale indefinito è un insieme di infinite funzioni (le primitive), descritto al variare di c.

L'integrale definito è un numero!

L'integrale definito ha la stessa notazione dell'integrale indefinito (segno di integrale, funzione integranda e dx) e in più ha due numeri scritti a destra del segno di integrale, uno in alto e uno in basso.

I numeri a e b sono detti estremi di integrazione:  a è l'estremo inferiore, b l'estremo superiore. Per calcolare l'integrale definito si usa questa regola:

cioè:
  1. calcoliamo l'integrale indefinito F(x) senza più bisogno di dover scrivere la c
  2. sostituiamo alla x l'estremo di integrazione superiore (b)
  3. mettiamo il segno meno
  4. sostituiamo alla x l'estremo di integrazione inferiore (a)
  5. facciamo i conti.
Ti faccio un esempio:

Adesso risolvendo alcuni integrali definiti scoprirai cosa indica questo numero.



Esempio 1

Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto

1) Nella finestra di GeoGebra qui sotto inserisci nella barra di inserimento e disegna i seguenti elementi:
  1. La funzione integranda (funzione che è scritta dentro l'integrale)
  2. La retta verticale che ha ascissa pari all'estremo di integrazione inferiore (valore scritto in basso a fianco dell'integrale)
  3. La retta verticale che ha ascissa pari all'estremo di integrazione superiore (valore scritto in alto a fianco dell'integrale)
2) Con il comando di GeoGebra Intersezione (seconda casella nella barra degli strumenti) evidenzia le intersezioni di ciascuna retta verticale con l'asse x e di ciascuna retta verticale con la funzione integranda. 3) Con il comando di GeoGebra Poligono (quinta casella nella barra deli strumenti) costruisci il quadrilatero che ha come vertici i quattro punti che hai trovato. 4) Con il comando di GeoGebra Area (ottava casella nella barra degli strumenti) misura l'area del tuo quadrilatero.

Rispondi alle domande. 1) Quanto misura l'area del quadrilatero? 2) Ora risolvi nuovamente sul quaderno l'integrale di sopra cambiando l'estremo di integrazione superiore in 3. Quanto fa l'integrale adesso? 3) Ora nella finestra di GeoGebra modifica l'equazione della retta seconda retta verticale, facendo sì che abbia sempre ascissa pari all'estremo di integrazione. 4) Come sono i due valori soluzione dell'integrale e area del quadrilatero?

Esempio 2

Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto

Modifica gli elementi della finestra di GeoGebra di sopra in modo che si adattino al nuovo integrale (funzione integranda e rette degli estremi di integrazione, il resto cambierà automaticamente di conseguenza).

Rispondi alle domande. 1) Come sono stavolta i due numeri che hai trovato come soluzione dell'integrale e come area del quadrilatero? 2) Come mai secondo te non sono uguali, come erano prima?

Esempio 3

Risolvi sul quaderno l'integrale definito e poi scrivi la soluzione qui sotto

Modifica gli elementi della finestra di GeoGebra di sopra in modo che si adattino al nuovo integrale (funzione integranda e rette degli estremi di integrazione, il resto cambierà automaticamente di conseguenza). 1) Com'è il valore dell'area rispetto al risultato dell'integrale? 2) Anche stavolta hai ottenuto un quadrilatero? 3) Calcola a mente le aree dei due triangoli con la formula dell'area del triangolo. Quanto misurano? 4) In che modo sono legate al valore dell'area calcolato da GeoGebra?

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