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Automatizar Newton-Raphson

Autor:César Romero Félix

Instrucciones

En esta actividad se automatizará la ejecución del método de Newton-Raphson para aproximar las raíces de un polinomio. Iniciaremos construyendo un botón que al presionarlo indique a GeoGebra que realice todos los pasos que hicimos en la actividad anterior para aproximarse a una raíz del polinomio. De tal manera, necesitamos: *Un valor inicial de la posible raíz: r0 * La secuencia de operaciones algebraicas que se aplicarían a r0 para obtener una mejor aproximación a la raíz: r1 Posteriormente, se podrá construir un botón que repita el método tantas veces sea necesario, por lo que necesitaremos: *Una manera de decidir cuándo dejar de aplicar el método, ya que estamos suficientemente cerca de la raíz buscada

Parte 1: Instrucciones para aplicar el método

Aprovecharemos que GeoGebra permite definir acciones dentro de botones usando una forma de escribir similar a la de la clase de matemáticas. Para iniciar, necesitamos las operaciones que se aplican a r0 para llegar a r1 de forma algebraica. En el siguiente applet se tiene la misma construcción de la actividad anterior, para que recuperes la fórmula que permite obtener r1 desde r0.

Obtención de la Fórmula

Recordando que la pendiente de la recta tangente se obtiene con la derivada del polinomio. ¿Cómo se puede escribir el valor de r1 en términos del valor de r0?

Elige dos valores distintos de r0 y comprueba que la fórmula escrita arriba genera el mismo resultado que el método aplicado gráficamente. Escribe aquí los valores de r0 y r1:

Creación de Botón

Ahora utilizaremos la herramienta de botón (aparece como Toolbar Image en la barra de herramientas) para que GeoGebra realice las operaciones. Dentro de un botón hay que utilizar comandos para indicarle qué hacer a GeoGebra. Como lo que queremos hacer es cambiar el valor de r0 por un valor más cercano a la raíz, utilizaremos el comando: valor(nombre de objeto, nuevo valor) Por ejemplo, si quisiéramos que el nuevo valor de r0 sea el doble de lo que ahora vale, escribiríamos: valor(r0, 2*r0)

¿Cuál debería ser el nuevo valor de r0 para aproximarse a la raíz? Escribe tu respuesta como un comando valor(nombre, nuevo valor)

Ya que tengamos bien definido el comando que se quiere utilizar dentro del botón, se aplica la herramienta [botón] desde la barra de herramientas. Hay que indicar en qué parte de la vista gráfica se quiere ubicar el botón, haciendo clic con el mouse, y luego aparece una ventana donde se introduce el texto que aparecerá como etiqueta del botón y los comandos que el botón ejecutará con cada clic:
Image

Comprobar funcionamiento de botón

Al presionar el botón GeoGebra debería cambiar la posición de r0 por la de r1. Registra en la tabla los valores que r0 para aproximar la primera raíz del polinomio (x1) con 4 decimales de precisión (error menor que .0001). ¿El botón lleva a la misma solución que el método gráfico manual? Explica por qué

Utiliza el mismo botón para aproximar las otras dos raíces y registra cada paso en la tabla de la derecha. Escribe aquí en qué valor empezaste la aproximación de cada raíz y cuántos clics fueron necesarios para llegar a la raíz aproximada.

En el siguiente applet comprueba si las raíces aproximadas te permiten proponer una fórmula factorizada del polinomio p(x):

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