Ejercicios sencillos del método de integración por partes
Ejercicio 1:
Para resolver este ejercicio, utilizaremos el método de integración por partes.
Paso 1: Identificar las funciones u y dv.
En este caso, seleccionamos:
(la función logaritmo natural)
dv = x dx (el diferencial de x)
Paso 2: Calcular du y v.
Calculamos:
(la derivada de ln(x) es 1/x)
(la integral de x dx es (1/2) x^2)
Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes.
La fórmula es:
Aplicando la fórmula, obtenemos:
Simplificando, tenemos:
Paso 4: Resolver la integral resultante.
La integral restante es ∫ x dx, que es fácil de resolver:
Paso 5: Combinar los resultados.
Sustituimos el valor de la integral resuelta en el paso anterior:
Donde C es la constante de integración.
Ejercicio 2:
Para resolver este ejercicio, también utilizaremos el método de integración por partes.
Paso 1: Identificar las funciones u y dv.
En este caso, seleccionamos:
(la función exponencial)
(la función seno)
Paso 2: Calcular du y v.
Calculamos:
(la derivada de e^x es e^x)
v = -cos(x) (la integral de sin(x) dx es -cos(x))
Paso 3: Aplicar la fórmula de integración por partes.
La fórmula es:
Aplicando la fórmula, obtenemos:
Simplificando, tenemos:
Paso 4: Resolver la integral resultante.
La integral restante es , que se puede resolver utilizando el método de integración por partes nuevamente.
Paso 5: Combinar los resultados.
Sustituimos el valor de la integral resuelta en el paso anterior:
Donde C es la constante de integración.
Fuente: Calculointegralweb.com