Derivada direccional
Dada una función de dos variables, , la derivada direccional de en el punto , en la dirección ( vector unitario) es la variación infinitesimal de en en la dirección dada por .
Gráficamente, la derivada direccional de en el punto , en la dirección , es la pendiente de la recta tangente a la gráfica que se obtiene al intersecar la gráfica de con un plano vertical que interseca al plano horizontal en una recta que pasa por con dirección . teniendo en cuenta la dirección de (es decir, en la recta tangente se considera la dirección inducida por ).
La derivada direccional de en con dirección se escribe, y se puede calcular mediante el producto escalar:
.
El vector ha de ser unitario para que no aporte magnitud a la derivada direccional y únicamente indique la dirección en la que la derivada se toma.
Si entonces la derivada direccional con dirección en es la derivada parcial .
Si entonces la derivada direcconal con dirección en es la derivada parcial .
Instrucciones:
En la construcción se muestra la gráfica de una función de dos variables con dominio rectangular. A la derecha, en la parte superior de la construcción se muestra un punto en blanco en el dominio el punto . El punto se puede mover arrastrándolo sobre el dominio. Al moverlo, en la parte inferior de la construcción, se puede ver cómo se mueve en el plano horizontal y también el correspondiente punto sobre la gráfica.
En la parte superior de la construcción, a la izquierda, el punto en gris sobre la circunferencia de radio 1 y el centro de la circunferencia definen un vector unitario . El vector unitario se cambia moviendo el punto gris sobre la circunferencia. A la derecha en la parte superior, se puede ver sobre el dominio rectangular azul, la recta amarilla que pasa por con dirección (la dirección está indicada mediante una flecha). En la parte inferior de la construcción se puede ver la misma recta en el plano horizontal, y también en amarillo la recta tangente a la gráfica (curva amarilla) que es intersección de la gráfica de con el plano vertical (azul-grisáceo) que corta al plano horizontal en la recta amarilla. Nótese que las dirección de la recta tangente a la gráfica de viene inducida por la dirección de la recta en el plano horizontal.
En la parte superior izquierda también se puede ver el valor concreto de la derivada direccional de la función en el punto con dirección . El rectángulo que es dominio de la función y la función se pueden cambia en las casillas correspondientes.
Al pulsar el botón "Parcial con respecto a x" el vector toma valor (la dirección y sentido del eje ) y la derivada direccional con esa dirección es precisamente la derivada . De manera análoga, al pulsar el botón "Parcial con respecto a y" el vector toma el valor (la dirección y sentido del eje ) y la derivada direccional es precisamente la derivada .