Wie viel Luft befindet sich in einer Toblerone-Verpackung?

Einleitung: Ihr esst eine Toblerone und habt Euch nie gefragt, wie viel Luft eine Toblerone-Verpackung enthält. Dann ist irgendetwas faul. Aber keine Sorge, denn wir, das Expertenteam für Schokolade, werden Eure Wissenslücke füllen!  Aber wie kommt man auf solch ein Fachgebiet, wie die Toblerone? Nun, als wir uns gefragt haben, was unser Thema sein sollte, hatten wir alle Lust auf etwas Süßes. Das Bedürfnis nach einem Leckerbissen ließ unser Hirn denken. Praktisch aus dem Nichts hatten wir alle zur gleichen Zeit das Bild einer Toblerone vor uns. Sofort waren wir uns einig und machten uns an die Arbeit. Aber wie kamen wir auf die geniale Lösung? Als erstes sollten wir uns die Toblerone ansehen. Mmmh … Mathematik ist wahrlich ein Genuss!   Doch bevor wir jetzt mit der Beschreibung der Schokolade und der Verpackung anfangen, könnt Ihr erst einmal Euer Wissen über die Toblerone testen!

Beschreibung des Objekts: Die Toblerone-Verpackung ist ein Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche. Die Schokolade besteht aus einem Trapez-Prisma, auf dem sich elf Pyramiden mit der Grundfläche eines Rechtecks befinden. Außerdem sind zwischen den einzelnen Pyramiden Lücken, in welchen sich Luft befindet, deren Volumen wir ausrechnen wollen.   Hier könnt Ihr Euch die Verpackung in 3D anhand einer GeoGebra-Anwendung anschauen:

Hinführung auf die Fragestellung: Die Fragestellung dieser GeoGebra-Aktivität lautet: „Wie viel Luft befindet sich in einer Toblerone-Verpackung?“ Diese Frage ist aufgrund der aktuellen Lage, in der immer mehr Abholzung stattfindet, um aus dem Holz z. B. eben Verpackungen für Toblerone-Riegel herzustellen, sehr relevant.     Maße einer Toblerone (ungefähr): Verpackung: Höhe = 2,6 cm; Breite = 3 cm; Länge = 17 cm Schokolade:  Trapez-Prisma: Breite (unten) = 3 cm; Breite (oben) = 2,6 cm; Länge = 17 cm; Höhe = 0,8 cm Pyramiden (11 Stück) à: Breite = 2,6 cm; Länge = 1 cm; Höhe = 1,8 cm → Lücken zwischen den Pyramiden: Länge = 0,6 cm () Rechnung: Wiederholung der benötigten Formel:   

Erläuterung der Vorgehensweise: Zuerst werden die Volumina der Verpackung, des Trapez-Prismas und der Pyramiden ausgerechnet. Als nächstes werden diese des Trapez-Prismas und der  der Pyramiden addiert, sodass man das Volumen der Schokolade erhält. Danach wird das Volumen der Schokolade von dem Volumen der Verpackung subtrahiert, damit wie gewünscht die Luft innerhalb einer Verpackung berechnet wird.     Lösung:                             Nachdem wir nun die Frage gelöst haben, wie viel Luft sich in einer Toblerone-Verpackung befindet, wäre es natürlich noch interessant zu wissen, wie viel Prozent diese im Verhältnis zur Schokolade ausmacht.                      Nun stellt sich aber noch die Frage, ob man Verpackung sparen könnte, indem man den Luftanteil auf 0 % reduziert und somit die Verpackung direkt um die Schokolade herumwickelt.       Dafür benötigen wir folgende Formeln:      Bei dieser Rechnung gehen wir davon aus, dass die Dicke der Verpackung gleich bleibt, welche man natürlich auch ändern könnte, um Verpackungsmüll zu sparen.  Zuerst rechnen wir die Höhe der Seiten der Verpackung aus:  Nun kann der Oberflächeninhalt der Verpackung ausgerechnet werden:      Nun wollen wir den Oberflächeninhalt des Prismas der Schokolade ohne die Seite oben ausrechnen, dazu benötigt man erst einmal die Höhe der Seiten des Prismas. Um wiederum dies auszurechnen, haben wir bei der GeoGebra-Datei der Verpackung geschaut, wie groß der Winkel der Seitenlänge der Schokolade ist. Damit können wir nun endlich die Höhe der Seite des Prismas der Schokolade ausrechnen:        Jetzt kann der Oberflächeninhalt des Prismas der Schokolade ohne die Seite oben ausgerechnet werden:    Nun rechnen wir die Höhe der Dreiecke der vorderen Pyramiden aus:  Und nun die Dreiecke der Pyramiden an der Seite:   Jetzt wird der Oberflächeninhalt der Pyramiden ohne Boden ausgerechnet:    Als letztes müssen wir noch die Flächeninhalte der Lücken zwischen den Pyramiden ausrechnen:      Nun können wir auch schon ausrechnen, wie viel Verpackung, man braucht, wenn man diese direkt um die Schokolade herumwickeln würden, indem wir den Oberflächeninhalt des Prismas ohne die obere Seite mit dem Oberflächeninhalt der Pyramiden ohne die Grundflächen und dem Flächeninhalt der Lücken addieren.      → Die Verpackung ist natürlich erheblich größer, wenn man diese direkt um die Schokolade  herumwickelt (Oberflächeninhalt der normalen Verpackung war 109,8 cm²).