Gesamte Funktionsübersicht
0. Übersicht der Parameter |
Alle Graphen G eines zweidimensionalen Koordinatensystems können grundsätzlich
mithilfe von 4 Parametern verschoben bzw. in ihrer Form verändert werden.
Man unterscheidet hier in zwei Typen von Parametern:
I. verschiebende Parameter
Hier gibt es die Parameter d und c, welche den Graphen in dem Koordinatensystem verschieben.
Der Parameter d verschiebt den Graphen entlang der y-Achse.
Dies solltest du bereits von linearen Funktionen mit t kennen.
Der Parameter c hingegen verschiebt den Graphen entlang der x-Achse.
Wichtig ist hierbei zu beachten, dass die Verschiebung hier umgekehrt als bei d geschieht.
Setzt man also positive Werte für c ein, so wird der Graph nach links verschoben und umgekehrt.
Ein Merkspruch hierfür wäre zum Beispiel:
"Bei c funktioniert das, wie bei den Zehen: Auf dem Zahlenstrahl rechts, dann verschiebung nach links."
II. streckende bzw. stauchende Parameter
Hier gibt es die Parameter a und b, welche den Graphen entlang der Achsen strecken bzw. stauchen.
Wichtig ist hierbei zu beachten, dass
Der Parameter a streckt bzw. staucht den Graphen entlang der y-Achse.
Dies lässt sich dadurch erklären, dass die Werte der eigentlichen Funktion
mit dem Faktor a multipliziert werden.
Der Parameter b streckt bzw. staucht den Graphen entlang der x-Achse.
Wichtig ist hierbei zu beachten, dass das Strecken bzw. Stauchen hier umgekehrt als bei a geschieht.
Setzt man also Werte < 1 für b ein, so entfernen sich alle Werte um den Faktor von der y-Achse weg.
Hier mit dem Term :
1. Ganzrationale Funktionen | mit , &
Ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen (n-ten Grades)
können in einer Vielzahl verschiedener Formen auftreten.
Alle besitzen jedoch folgende grundlegende Eigenschaften:
- Definitionsbereich
- y-Achsenabschitt
- Stetigkeit: stetig
- Differenzierbarkeit: differenzierbar
- Anzahl der Nullstellen max. gleich dem Grad n
Generell gibt es hier 4 Spezialfälle:
1.1 Konstante Funktionen (n = 0) |
Graphen von Konstanten Funktionen sind waagrechte Geraden parallel zur x-Achse.
Ihre Höhe wird von der Konstanten k bestimmt.
- Symmetrieverhalten: Achsensymmetrisch zur y Achse
- Schnittpunkt mit der y-Achse: P ( 0 | k )
1.2 Lineare Funktionen (n = 1) |
Die Graphen von Linearen Funktionen repräsentieren eine gerade Gerade auf dem Koordinatensystem.
Die Steigung m gibt an, wie steil der Graph ist und der y-Achsenabschnitt t gibt an,
wo der Graph die y-Achse schneidet.
- Symmetrieeigenschaften: punktsymmetrisch zum Punkt P ( 0 | t )
- Nullstelle:
- Schnittpunkt mit der y-Achse: Ps ( 0 | t )
1.3 Quadratische Funktionen (n = 2) | Normalform:
Die Graphen von Quadratischen Funktionen nennt man Parabeln.
Man unterscheidet grundsätzlich 3 verschiedene Formen von Quadratischen Funktionen:
- Normalform:
- Scheitelpunktform:
- Nullstellenform:
Um von der Normalform zur Scheitelpunktform (oder umgekehrt) zu gelangen,
benötigt man die 2. binomische Formel: . Hier ein Beispiel:
An der Scheitelpunktform kann man nun einige Eigenschaften des Graphen ablesesen:
- Scheitelpunkt: P = ( d | e )
- Streckungsfaktor a:
Parabel gestreckt
Parabel gestaucht
- Öffnung:
bzw. positiv Öffnung nach oben
bzw. negativ Öffnung nach unten
- Symmetrieeigenschaften: Achsensymmetrisch zu
- Nullstellen: Scheitelpunkt P ≙ doppeste Nullstelle, wenn P auf x-Achse ()
Keine, wenn...
... nach oben Verschoben () & Öffnung nach oben ()
... nach unten Verschoben () & Öffnung nach unten ()
Je nach Situation benötigt man um die Nullstellen zu berechnen vielleicht die Mitternachtsformel:
Eine andere Möglickeiten bietet das Ausklammern:
Und falls das ein wenig zu kompliziert für dich war, hier ein Video von @Mathe - simpleclub:
1.4 Potenzfunktionen (an-1 = ... = a0 = 0) | mit
Der Koeffizient a streckt den Graphen entlang der y-Achse und spiegelt ihn an der x-Achse, wenn .
Anhand des Exponenten n unterscheidet man Potenzfunktionen in 2 Fälle:
1. Wenn n gerade:
- Graph ist parabelähnlich und achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Punkte P1 ( -1 | a) und P2 ( 1 | a )
- Bei...
... verläuft der Graph zudem durch den 1. & 2. Quadranten, ist somit also nach oben geöffnet.
Wertebereich
... verläuft der Graph zudem durch den 3. & 4. Quadranten, ist somit also nach unten geöffnet.
Wertebereich
2. Wenn n ungerade:
- Wertebereich immer
- Graph ist "S-förmig" und punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Punkte P1 ( -1 | -a) und P2 ( 1 | a )
- Bei...
... verläuft der Graph zudem durch den 1. & 3. Sektor, verläuft also
... verläuft der Graph zudem durch den 2. & 4. Sektor, verläuft also
2. Gebrochen-rationale Funktionen | mit und Grad von min. 1
Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome und ist,
heißt gebrochen-rationale Funktion. Alle besitzen folgende Eigenschaften:
- Definitionsbereich , wobei die Nullstellen von auszuschließen sind
- Nullstellen: löse
- Stetigkeit: stetig auf Df- Asymptoten: Diese können senkrecht, waagrecht oder schräg sein.
Wenn...
... Zählergrad z < Nennergrad n, hat der Graph eine waagrechte Asymptote bei
... Zählergrad z = Nennergrad n, hat der Graph eine waagrechte Asymptote mit
Diese lässt sich durch die Division der Leitkoeffizienten an der Polynomfunktionen berechnen:
... Zählergrad z = Nennergrad n + 1, hat der Graph eine schräge Asymptote.
Zur Berechnung dieser benötigst du die Polynomdivision:
-Polstellen oder hebbare Definitionslücken
Eine Spezialform der gebrochen-rationalen Funktionen sind elementare gebrochen-rationale Funktionen:
2.1 Elementare gebrochen-rationale Funktionen | mit &
Die Graphen von elementaren gebrochen-rationalen Funktionen nennt man Hyperbeln.
Aufgaben der Parameter:
- Der Nenner a streckt bzw. staucht den Graphen entlang der y-Achse.
- Der Summand b verschiebt den Graphen um b nach links.
- Der Summand c verschiebt den Graphen entlang der y-Achse.
Nun lassen sich folgende Eigenschaften erschließen:
- Definitionsbereich
- Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -b
- Wertebereich
- Asymptoten bei und
- Stetigkeit: stetig auf Df
3. Exponentialfunktionen | mit
Die Graphen von Exponentialfunktionen nennt man Exponentialkurven.
Die Besonderheit bei ihnen ist, dass x der Exponent ist.
Der Fakor b streckt bzw. staucht den Graphen entlang der y-Achse
und spiegelt ihn an der x-Achse, wenn
Die Basis a bewirkt den selben Effekt, aber nicht direkt proportional.
Wichtig ist, dass a nicht ≤ 0 sein darf und den Graphen an der y-Achse spiegelt, wenn
Exponentialfunktionen besitzen grundlegend folgende Eigenschaften:
- Definitionsbereich
- Wertebereich , wenn b > 0
bzw. , wenn b < 0
- keine Nullstellen
- y-Achsenabschnitt bei y= b
- Stetigkeit: stetig auf Df
- Differenzierbarkeit: differenzierbar auf Df
- x-Achse als waagreche Asymptote
Natürlich können die Eigenschaften sowie der Graph
durch die bei 0. erwähnten Parameter verändert werden!
Möchte man zu einem Wert f(x) die Stelle x berechnen, so benötigt man den Logarithmus:
4. Trigonometrische Funktionen | oder
Die Graphen von trigonometrischen Funktionen sind grundsätzlich periodische "Wellen".
Die Periode einer unveränderten Kosinus- und Sinusfunktion ist 2π.
, wohingegen
Es lässt sich außerdem sagen, dass:
&
sin(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, während cos(x) achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Auf beide Funktionen treffen jedoch grundsätzlich diese gemeinsamen Eigenschaften zu:
- Definitionsbereich
- Wertebereich
- Periodenlänge von 2π
- unendlich viele Nullstellen im Abstand der halben Periodenlänge
- Stetigkeit: stetig
- Differenzierbarkeit: differenzierbar
Natürlich können die Eigenschaften sowie der Graph
durch die bei 0. erwähnten Parameter verändert werden!