Integrales de línea para campos vectoriales.
Sea un campo vectorial continuo en una región y una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial sobre en la dirección de , está definida como:
donde es el producto escalar entre vectores y la función es una parametrización arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campo vectoriales solo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva con orientación opuesta entonces:
Ejemplo: Calcular el trabajo realizado sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva cerrada simple donde , y el campo de fuerzas está dado por el campo vectorial .
Grafiquemos el campo vectorial y la curva sobre la que se mueve la partícula:
El campo vectorial está dibujado en rojo y la curva cerrada simple está dibujada en azul.
Lo siguiente es calcular , para ello tenemos que parametrizar la curva . Una posible parametrización es la siguiente: .
Ahora debemos hacer la composición y
Calculemos también :
Finalmente, calculemos :