Tangenten einer Kubik
Die Tangenten einer ganzrationalen Funktion 3. Ordnung bilden ein 6-Ecknetz.
Das Applet zeigt die Tangenten an den Funktionsgraphen durch die Punkte P0, P1, P3 und P5.
3 reelle Tangenten gibt es für die Punkte zwischen dem Graphen und der Wendepunkt-Tangente.
Die Punkte lassen sich so bewegen, dass ein 6-Eck zu entstehen scheint.
Dass dieser Schein nicht trügt, ist bewiesen (s.u.).
Die obige "Konstruktion" ist natürlich kein Beweis für die Aussage, zumal die Tangenten Näherungslösungen sind.
Die exakte Lösung von kubischen Gleichungen mit GeoGebra-CAS ist wohl erst für eine spätere Version vorgesehen (? Stand Febr. 2017).
Verschiebt man P0 aus dem helleren Bereich, so verschwinden Berührtangenten und die auf ihnen liegenden Punkte!
Was ist ein 6-Ecknetz?
Drei Kurvenscharen mit der Eigenschaft "durch jeden Punkt eines Gebietes geht genau eine Kurve aus jeder Schar" bilden ein 6-Ecknetz, wenn sich die oben angedeutete Figur, beginnend mit einem Punkt P0, einem weiteren Punkt P1 auf einer der Kurven usw. ..., zu einem Sechseck schließt.
Drei Geradenbüschel, das sind Geraden durch einen Punkt oder die Parallelen einer Geraden, bilden immer ein 6-Ecknetz! Ausprobieren!!!!
Warum trügt der Schein nicht?
Der Satz von Graf und Sauer (1929) besagt: " Die Tangenten einer Kurve 3. Klasse bilden ein 6-Ecknetz".
Eine Kurve 3. Klasse ist eine Kurve 3. Ordnung mit der Eigenschaft: durch jeden Punkt eines Gebietes gehen genau 3 Tangenten.
Siehe "Algebraische Kurven" bei wikipedia.
Kann man das obige 6-Ecknetz mit Geogebra "konstruieren"?
Dies als Anregung!
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