３。複素数の計算
１.複素数の定義と相等
＜複素数＞
平方してー1になる数をi(虚数単位）とする。i2=-1。
実数a,bを使い、a+biと表した数を複素数(Complex number)という。
実数aを実部、bを虚部という。
b=0とすると、複素数の一部として、実数(Real Number)を表す。
それ以外の複素数を特に、虚数(Imagnary Number)と呼ぶある。
集合として、整数、有理数、実数、複素数の順にとかく。
２つの虚数が等しいのは、実部も虚部も等しいときに限る。
（例）i･i=-1 i/i=1 1/i=1･i/ i･i= i/-1=-i
※複素数は実部aと虚部bの２次元を持つので、座標平面上の点(a,b)に対応させて表示することもある。
また、原点からその点へのベクトルとしてみると、ベクトルの大きさの２乗はa2+b2
２．複素数の計算
＜複素数の和と差＞
・複素数を実部aと虚部bの組（a,b)で表すことにする。
・和は実部が実部の和、虚部が虚部の和になる。差も同様。
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)
・積は(a+bi)(c+di)=ac+bdi2+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)iとなる。
・商は(a+bi)/(c+di)=
これは、公式として覚えるのではなく、分母の有理化のように、分母の実数化ととらえよう。
ただし、和と差の積が２乗の差で、c+diに共役[conjugate]複素数をかけた結果が
c2-d2でなく、c2+d2になることに注意しよう。iの２乗＝−１から、マイナス×マイナスでプラス。
・逆数1/(c+di)=(1+0i)/(c+di)=
（例）(1+2i)･(3+4i)=(1･3−2･4)+(1･4+2･3)i=-5+10i
（例）1/(1+2i)=(1−2i)/(12+22)=(1−2i)/5
（例）(1+2i)/(3+4i)=(1+2i)･(3-4i)/(32+42)=[(1･3+2･4)+(1･-4+2･3)i]/25=(11+2i)/25
＜共役複素数＞
・複素数の虚部の符号だけを変えた数を共役（conjugate）複素数という。
もとの複素数記号に上線をひく。
z=a+biの共役複素数は、z=a−bi。
・和は2a。積はa2+b2で、ともに実数になる。
（例）ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との和は2･3=6
（例）ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との積は32+42=25
＜極形式＞
複素数は実部とｘ軸、虚部をｙ軸とすると、座標平面における。
座標平面にある点Z（ｘ，ｙ）はベクトルのように、原点Oと結ぶことができまる。
Zの位置は、OZの大きさをｒ、OZとx軸の正の方向から反時計回りに測った角θで決まる。
ｚ＝ｒ(cosθ+sinθ i)とかける。
（理由）
OZをｒで割った長さORは１なので、Rは単位円周上にある。
だから、Rは(cosθ,sinθ）とかける。
ということは、OZはそれをｒ倍しているだけだから、（ｒcosθ, r sinθ)という座標になる。
（例）
の値は？
z=
だから、zは複素平面の単位円のθ=π/3の点だ。指数はz=1に対するθ回転の回数を表す。
大きさが１なので、何回転（何乗）しても、大きさは１のままである。
これを前提にすると、計算しなくてもz3=-1、z6=1とわかる。
100÷6=16あまり4から、z100=z4
π/3×４＝4/3π。
z100=cos(4/3π)+sin(4/3π)i=