Caso PRR
INTRODUÇÃO
Neste caso são fornecidos duas retas distintas r e s e um ponto A, e devemos encontrar o círculo que passa pelo ponto e é tangente as retas.
SUBCASOS
1. As retas r e s são paralelas e o ponto A pertence apenas a uma delas: A solução é única;
2. As retas r e s são paralelas e o ponto A está entre elas: Há duas soluções;
3. As retas r e s são paralelas e o ponto A é separado de uma das retas pela outra: Não há solução;
4. As retas r e s são concorrentes e o ponto A pertence apenas a uma delas: Há duas soluções;
5. As retas r e s são concorrentes e o ponto A é a interseção entre elas: Não há solução;
6. As retas r e s são concorrentes e o ponto A não pertence a nenhuma delas: Há duas soluções.
PRR1
PASSO A PASSO
(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a r;
(6) É construída a reta p perpendicular a r passando por A;
(7) É determinado o ponto B de interseção entre p e s;
(8) É determinado o ponto médio de AB, denominado O;
(9) É traçado o círculo c de centro O passando por A (que também passará por B).
JUSTIFICATIVA
A circunferência c de centro O e raio OA é a solução do subcaso PRR1, pois passa por A e é tangente as retas r e s, uma vez que o raio OA é perpendicular a reta r, por construção, e o raio OB é perpendicar a reta s, pois esta última é paralela a r.
PRR2
PASSO A PASSO
(1-6) São dados duas retas paralelas r e s e um ponto A entre elas;
(7) É construída a reta p, entre r e s, paralela a ambas e equidistante das duas;
(8) É traçado o círculo a de centro A e raio igual a metade da distância entre r e s;
(9-10) São determinados os pontos O1 e O2 de interseção entre a e p;
(11-12) São traçados os círculos c1 e c2 de centros O1 e O2, respectivamente, passando por A.
JUSTIFICATIVA
Se a distância entre r e s é igual a d, qualquer circunferência que solucione o problema deve ter seu centro equidistante de r e s, pois os raios até os pontos de tangência com as retas r e s devem ser perpendiculares a essas retas, de modo que seus comprimentos coincidirão com a distância d/2. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de r e s é a reta p, paralela a ambas. Observe ainda que qualquer círculo que solucione o problema terá raio medindo d/2. Logo, procuramos pontos que estejam a essa distância do ponto A para serem centro de um círculo que solucione o problema, em outras palavras procuramos pontos sobre o círculo a de centro A e raio d/2. Os centros dos círculos c1 e c2 procurados pertencerão então a interseção entre p e a, ou seja, serão os pontos O1 e O2.
PRR3
Na construção anterior, referente ao subcaso PRR2, movimente o ponto A até que este não esteja entre as retas paralelas r e s e observe o que ocorre.
Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso. Imagine que o ponto A esteja no semiplano determinado por r que não contém a reta s (caso estivesse no semiplano determinado por s que não contém r o raciocínio seria análogo) e suponhamos que o círculo que procuramos tangenciasse s em um ponto T de s, então teríamos de obter um cículo passando por A e T tangente a r, sendo que A e T estão em semiplanos opostos dentre os determinados por r. Assim, recaímos no caso PPR4, que como já vimos, não possui solução.
PRR4
PASSO A PASSO
(1-5) São dados duas retas r e s e um ponto A pertencente a reta s;
(6) São construídas as reta b1 e b2, bissetrizes das retas r e s;
(7) É construída a reta p, perpendicular a s passando por A;
(8-9) São determinados os ponto O1 e O2 de interseção entre p e b1 e b2;
(10-11) São traçados os círculo c1 e c2 passando por A de centros O1 e O2, respectivamente.
JUSTIFICATIVA
Queremos determinar os centros de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados a igual distância das retas r e s, ou seja, sobre uma das bissetrizes b1 e b2. Por outro lado, como o ponto A pertence a reta s ele deve ser o próprio ponto de tangência, o que significa que os centros procurados devem pertencer a reta p, já que o raio é sempre perpendicular a reta tangente no ponto de tangência. Portanto, como os centros devem pertencer simultaneamente a uma das bissetrizes b1 ou b2 e a reta p, concluímos que tais centros são, na verdade, os pontos O1 de interseção entre b1 e p e O2 de interseção entre b2 e p. Assim, os círculos procurados serão os círculos c1 e c2.
PRR5
Na construção anterior, referente ao subcaso PRR4, movimente o ponto A até que este coincida com o ponto de interseção entre as retas r e s e observe o que ocorre.
Você deve ter notado que não é possível obter a solução neste caso, pois o ponto A deveria ser simultaneamente o ponto de tangência das retas r e s com a circunferência que soluciona o problema. Se O é o centro de tal circunferência, o raio OA deveria ser perpendicular a r e a s ao mesmo tempo, o que não é possível, uma vez que as retas r e s não são paralelas neste caso.
PRR6
PASSO A PASSO
(1-6) São dados duas retas concorrentes r e s e um ponto A que não pertence à nenhuma delas;
(7) É construída a reta b, bissetriz das retas r e s, que possui interseção com a região do plano que contém o ponto A, consideradas as quatro regiões delimitadas pelas retas r e s;
(8-9) É determinado o ponto A', simétrico do ponto A em relação à b;
(10-11) É construída a reta AA' que passa por ambos os pontos A e A';
(12-13) É determinado o ponto M1, ponto médio dos pontos A e A';
(14-15) É determinado o ponto C, interseção de AA' e r;
(16-17) É determinado o ponto M2, ponto médio de M1 e C;
(18-19) É traçado o círculo d1, de centro M1 passando pelos pontos A e A';
(20-21) É traçado o círculo d2 de centro M2, passando pelos pontos M1 e C;
(22-23) São determinados os pontos P1 e P2, interseção de d1 e d2;
(24-25) É traçado o círculo d3 de centro C, passando pelos pontos P1 e P2;
(26-27) São determinados os pontos C1 e C2, interseção de d3 e r;
(28-31) São traçados os círculos c1 e c2 passando pelos pontos A, A' e C1 e A, A' e C2.
JUSTIFICATIVA
Os centros O1 e O2 das circunferências c1 e c2 que procuramos precisam equistar das retas r e s, logo, pertencem a bissetriz b destas retas. Como o ponto A' é simétrico de A em relação a bissetriz b, então b é mediatriz do segmento AA', o que significa que A' deve estar a mesma distância que A que qualquer ponto sobre a reta b, em particular AO1=A'O1 e AO2=A'O2 e, portanto, A' é um ponto que pertence a ambas as circunferências c1 e c2. Note ainda que, como A não pertence a nenhuma das retas r ou s, também A', que está a mesma distância da bissetriz b, não pertencerá a nenhuma dessas retas. Assim, tomando qualquer uma das retas r ou s e os dois pontos A e A', recaímos no quinto subcaso do Caso PPR, o que justifica todos os passos da construção que se seguem após a construção do ponto A'.