Beweis zur Ableitung der Sinusfunktion
Beweisführung
Sei beliebig. Für den Differentialquotienten der
Sinusfunktion an der Stelle gilt:
Wendet man das Additionstheorem der Sinusfunktion an, folgt
Wer die Kosinusfunktion kennt, weiß dass , also gilt
Da nicht von h abhängt, kann man es nach vorne
ziehen, deshalb folgt:
Nun zeigt man, dass mit der in der Aktivität gezeigten Abschätzung:
Die Abschätzung
Die Aktivität zeigt einen Kreissektor (blau) im Einheitskreis, für dessen Fläche offensichtlich gilt, dass sie größer als das durch den Ursprung, und bestimmte Dreieck und kleiner als das durch den Ursprung, und bestimmte Dreieck . Bewegt man den Schieberegler a nach rechts, werden h und immer kleiner. Der Wert des Verhältnisses wird rechts angezeigt (Q). Nach Einsetzen der Flächenformeln gilt also:
Da , kann man kürzen:
Nimmt man nun die Kehrbrüche, ergibt sich:
Da , muss auch gelten.
Insgesamt folgt also:
Da frei gewählt war, ergibt sich für alle .