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Quadratische Funktion, Nullstellen

Autor:H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW
Hier ist eine Parabel mit der Funktion f(x) = x² + px + q = (x - xS)² + yS gegeben, die durch Ziehen am Graphen von f verändert werden kann. Die roten Schnittpunkte mit der x-Achse sind Nullstellen der Funktion, die Lösungen der Gleichung f(x) = 0.

Ziehe f so, dass der Scheitelpunkt S immer auf einem Gitterpunkt mit ganzzahligen Koordinaten liegt,

  1. Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen aussagen? Wie hängt dies mit der Lage von S zusammen?
  2. Nun soll eine Formel für die Nullstellen entdeckt werden. Betrachte zunächst den Spezialfall, dass S auf der y-Achse liegt. Untersuche, wie weit die Nullstellen von der y-Achse entfernt liegen, wenn der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse liegt. Findest du eine Gesetzmäßigkeit?
  3. Ziehe so, dass S von der y-Achse weg liegt (z.B. auf (3, -4)) und übertrage die Erkenntnisse von b) auf diesen Fall. Führe dies für weitere Scheitelpunkte unterhalb der x-Achse durch.
  4. Finde allgemein eine Formel für x1 und x2 abhängig von S = (xs, ys).
  5. Finde einen Zusammenhang zwischen xS und den Koeffizienten p und q. Finde einen Zusammenhang zwischen yS und den Koeffizienten p und q.

  • Elschenbroich, H.-J. (2022): Kein Mensch lernt digital, aber ... . In: Reinhold, F. & Schacht, F. (Hrsg.)(2022). Digitales Lernen in Distanz und Präsenz. Herbsttagung 2021 des Arbeitskreises Mathematikunterricht und digitale Werkzeuge in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik am 24.09.2021. Universität Duisburg-Essen.  https://duepublico2.uni-due.de/receive/duepublico_mods_00076027
  • Elschenbroich, H.-J. (2021): Parabeln und quadratische Funktionen. in: digital unterrichten MATHEMATIK 5/2021. Friedrich Verlag. S. 8 -9
  • Elschenbroich, H.-J. (2002): Visuell-dynamisches Beweisen. In: mathematik lehren 110. Friedrich Verlag. S. 56 - 59

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