2023 - Sess. Suppl. Problema 1
Testo parte (a)
Assegnata la funzione
Determinare il valore del parametro reale affinché abbia un punto di minimo assoluto in .
Si studi la funzione ottenuta e se ne disegni il grafico.
Soluzione parte (a)
Il dominio di è , e la funzione è continua e derivabile nel suo dominio.
Poiché deve essere un punto di minimo di , la sua derivata si deve annullare in .
Ponendo si ottiene
Esplora il grafico della funzione assegnata muovendo lo slider e osserva che la soluzione ottenuta è valida per .
Studio della funzione
Posto la funzione da studiare è in .
Segno: . Poiché , studiamo la cui soluzione è .
Limiti: e
È quindi soddisfatta la condizione necessaria per l'esistenza dell'asintoto obliquo, il cui coefficiente angolare - se esiste - è .
La funzione dunque non ammette asintoto obliquo.
Derivata prima:
Segno della derivata prima: . La funzione è quindi decrescente per , ha un minimo in ed è crescente per .
Derivata seconda:
Segno della derivata seconda:
La derivata seconda è sempre positiva nel dominio, dunque il grafico della funzione ha sempre la concavità rivolta verso l'alto.
Poni il valore dello slider nell'app precedente per visualizzare il grafico di .
Testo parte (b)
Si verifichi che esiste una sola retta tangente alla curva di equazione , condotta dal punto . Determinare l'equazione di e le coordinate del corrispondente punto di tangenza.
Soluzione parte (b)
L'equazione generale del fascio di rette passante per è .
Sostituendo le coordinate di nell'equazione generale, otteniamo che l'equazione di è della forma .
La retta del fascio è tangente al grafico della funzione in un punto comune ad entrambe, quindi dovrà essere
(1)
e nel punto di tangenza la derivata della funzione (che rappresenta il coefficiente angolare della tangente) dovrà essere uguale al coefficiente angolare del fascio, e dunque
(2)
Risolvendo il sistema costituito dalle condizioni (1) e (2) otteniamo , che è l'ascissa del punto di tangenza. Sostituiamo tale valore nell'equazione della funzione, cioè calcoliamo per ottenere l'ordinata del punto di tangenza .
Sostituiamo infine le coordinate di nel fascio di rette per ottenere il valore di della retta tangente, che è .
L'equazione della retta tangente alla funzione condotta da è quindi .
Muovi lo slider nell'app che segue per esplorare il fascio di rette per e visualizzare la soluzione.
Testo parte (c)
Determinare i parametri reali in modo che le curve di equazioni e risultino tangenti nel loro punto comune di ascissa 1.
Soluzione parte (c)
La soluzione di questa parte segue lo stesso procedimento della precedente.
Quindi dovremo trovare il punto comune alle due curve e imporre che in tale punto la tangente a entrambe le curve sia la stessa.
Dal punto precedente sappiamo che il punto di ascissa di è e il testo suggerisce che tale punto è comune alle due curve, cosa che può essere verificata mediante sostituzione.
Assegno alla seconda curva il nome perchè questa è una funzione omografica, il cui grafico è quello di una iperbole equilatera traslata, con asintoti e .
non è degenere nel suo asintoto orizzontale per .
Al punto (b) del problema abbiamo determinato la tangente a in , che ha equazione . Affinché la tangente sia la stessa per , dobbiamo imporre il passaggio di per :
(1)
e l'uguaglianza delle derivate prime delle due funzioni in , cioè :
(2)
Risolvendo il sistema di equazioni (1) e (2) otteniamo la soluzione accettabile e la soluzione non accettabile . Quest'ultima soluzione non è accettabile, in quanto per questa coppia di valori l'iperbole degenera nel suo asintoto orizzontale.
Sostituendo i valori di e nell'equazione di otteniamo , iperbole equilatera di centro e asintoti e , che puoi vedere nel grafico seguente.
Testo parte (d)
Studiare la funzione dopo averne scritta l'espressione analitica.
Determinare l'equazione della retta tangente al grafico di nel suo punto di ascissa .
Soluzione parte (d)
Integrando per parti otteniamo .
Dominio:
Limiti: e
Derivata prima:
Segno della derivata prima: è il segno di , quindi è decrescente per , ha un punto di minimo assoluto in e poi cresce.
Derivata seconda:
Segno della derivata seconda: è il segno di , quindi ha la concavità rivolta verso il basso per , ha un punto di flesso a tangente obliqua in e ha la concavità rivolta verso l'alto altrove.
Determinazione della tangente a in
Il punto di tangenza ha coordinate , con .
Il coefficiente angolare della tangente è
Quindi l'equazione della retta tangente è .
Sostituendo i valori ottenuti in precedenza, ed esplicitando l'equazione si ha .
Nell'app di seguito, sono visualizzati i grafici di e della funzione integrale . Muovi il punto sull'asse delle ascisse per visualizzare geometricamente l'integrale, e la costruzione punto per punto della funzione integrale : la traccia visualizzata è l'unione dei punti di coordinate .